이론은 많이 주장할수록 확률이 적어진다

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             이론은 많은 주장할수록 확률이 적어진다

 

더욱 특히 카르납은 논리적 확률1에 대하여, 그 확률이 특정 공리(公理) 체계를 충족시키고 여하한 경우에도 (특별한) 덧셈 원리 및 (일반적인) 곱셈 원리를 충족시키는 관념이라고 말한다. 이제 이것은 서술이 많이 주장할수록 그 서술의 개연성은 그만큼 적어진다는 일반적인 곱셈 원리 기초적 결과이다. 하나의 문장 x의 정보성 내용이 증가할 때 주어진 증거 y를 토대로 문장 x의 논리적 확률이 감소한다고 말함에 의하여 이것이 표현될 것이다.

그러나 높은 확률이 과학의 목표들 중 한 목표가 될 수 없음을 밝히기에 이것은 충분하다. 이유인즉 과학자란 높은 내용을 지닌 이론들에 매우 흥미를 갖기 때문이다. 과학자는 고도로 개연적인 하찮은 것들을 좋아하지 않고 대담하고 엄격하게 시험될 수 있는 (그리고 엄격하게 시험되는) 가설들을 좋아한다. (카르납이 우리에게 말하는 바와 같이) 높은 획인 등급(degree of confirmation)이 과학에서 우리가 겨냥하는 것들 중의 하나라면, 획인 등급(degree of confirmation)은 확률과 동일시될 수 없다.

이것은 어떤 사람들에게 역설적으로 들릴 것이다. 그러나 높은 확률이 과학의 목표라면, 과학자들은 가능한 한 적게 말을 해야 하고, 가급적이면 동어반복만을 말해야 한다. 그러나 과학자들의 목표는 과학을 ‘진보시키는’ 것으로, 다시 말해서 과학의 내용을 증가시키는 것이다. 그러나 이것은 과학의 확률을 낮추는 것을 의미한다. 그래서 보편적 법칙들의 높은 내용을 참작하면, 그 법칙들의 확률이 영(零: zero)임을 발견하는 일이 놀랍지도 않고, 과학은 높은 확률을 겨냥해야 한다고 믿는 저 철학자들이 이것들과 같은 사실들을 공정히 취급할 수 없음을 발견해도 놀랍지 않다: 대부분의 과학자들에 의하여 보편적 법칙들의 언명이 (그리고 시험) 그들의 가장 중요한 목표로 간주된다는 것을 발견해도 놀랍지 않다: 혹은 과학의 상호주관적인 시험 가능성이 이 법칙들에 의존한다는 것을 발견해도 놀랍지 않다 (내가 나의 저서 과학적 발견의 논리[L.Sc.D.]의 8절에서 지적한 바와 같이).

지금까지 언급된 것으로부터 적합하게 정의(定義)된 ‘확인등급(degree of confirmation)’에 의하여 일반적인 곱셈 원리가 확률들에 대하여 충족될 수 없다는 것은 틀림없이 분명하다.

요점 (α)를 요약하면 우리는 과학에서 높은 내용을 겨냥하기 때문에, 우리는 높은 확률을 겨냥하지 않는다.

(b) 서술이나 이론에 대하여 가능한 시험들의 엄격성은 (다른 요인들 가운데서) 그것이 주장하는 것의 정확성에 그리고 그것의 예언력에 의존한다; 다시 말해서 그것의 정보성 내용에 (그 정보성 내용은 이 두 가지 요인에 따라서 증가한다) 의존한다. 서술의 시험 가능 등급(the degree of testability of a statement)은 서술의 내용과 따라서 증가한다고 말함에 의하여 이것이 표현될 것이다. 그러나 서술은 더 잘 시험될 수 있을수록 더 잘 확인될 수 있다, 다시 말해서 서술에 대한 시험들에 의하여 증명될 수 있다. 그리하여 서술을 확인하는 기회들은, 그리고 따라서 서술의 확인 가능성이나 입증 가능성 혹은 증명 가능성의 등급(degree)은 서술의 시험 가능성에 따라서 그리고 서술의 내용에 따라서 증가함을 우리가 발견한다.

요점 (b)를 요약하면 우리가 높은 등급의 확인을 (또는 입증) 원하기 때문에, 우리에게는 높은 내용이 (그리하여 낮은 절대 확률) 필요하다.

(c) 확인을 확률과 동일시하는 사람들은 높은 등급의 확률이 바람직하다고 틀림없이 믿는다. 그들은 함축적으로 다음 규칙을 수용한다: ‘항상 가장 개연적인 가설을 선택하라!’

이제 이 규칙이 다음 규칙과 대등하다는 것이 쉽게 밝혀질 수 있다: ‘가능한 한 증거를 넘어서지 않는 가설을 항상 선택하라!’ 그리고 이것은 그다음에 ‘내용이 가장 낮은 (당신의 과제, 예를 들어 당신의 예측 과제 한계 안에서) 가설을 항상 수용하라!’뿐 아니라, ‘가장 높은 등급의 임시방편적 특징이 있는 (당신의 과제 한계 안에서) 가설을 항상 선택하라!’에도 대등한 것으로 밝혀질 수 있다. 이것은, 고도로 개연적인 가설은 알려진 사실들에 들어맞으며 가능한 한 그 사실들을 넘어서지 않는 가설이라는 사실의 의도하지 않은 결과이다.

그러나 임시방편적 가설들은 과학자들에 의하여 혐오됨은 잘 알려져 있다: 그 가설들은, 기껏해야 미봉책이지 진정한 목표가 아니다. (대담한 가설이 더 엄격하게 시험될 수 있고, 독립적으로 시험될 수 있기 때문에 과학자들은 대담한 가설을 선호한다.)

요점 (c)를 요약하면 높은 확률을 겨냥하면 임시방편적 가설들을 선호하는 반(反)-직관적 규칙이 수반된다.

이 세 가지 논증들로 인하여 나 자신의 관점이 예시되는데, 이유인즉 내가 확인하는 사례(a confirming instance)에서 엄격한 시험의 결말을 혹은 이론에 대한 논박 시도의 (그러나 성공적이지 못한) 결말을 보기 때문이다. 다른 한편으로 엄격한 시험들을 찾지 않고, 오히려 ‘검증’이라는 옛 관념의 의미에서 (혹은 그 관념의 약화된 해석에서) ‘확인’을 찾는 사람들은 확인 가능성의 다음과 같은 다른 관념에 도달한다: 문장은 더 거의 검증될 수 있을수록, 혹은 더 거의 관찰 문장들로부터 연역될 수 있을수록 더 잘 확인될 수 있을 것이다. 이 경우에 보편적 법칙들은 (우리의 분석에서와 같이) 고도로 확인 가능한 것이 아니라, 그 법칙들의 높은 내용 때문에 그 법칙들의 확인 가능성은 영(零: zero)일 것임이 분명하다.

ㅡ “추측과 논박, 과학적 지식의 성장”, 1989년, 286-287쪽, 칼 포퍼 ㅡ

 

More specifically, Carnap says of the concept of logical probability1 that it satisfies certain axiom systems, and in any case the (special) addition principle and (general) multiplication principle.󰊙󰊘 Now it is an elementary consequence of the latter that the more a statement asserts, the less probable it is. This may be expressed by saying that the logical probability of a sentence x on a given evidence y decreases when the informative content of x increases.󰊙󰊙

But this is sufficient to show that a high probability cannot be one of the aims of science. For the scientist is most interested in theories with high content. He does not care for highly probable trivialities but for bold and severely testable (and severely tested) hypotheses. If (as Carnap tells us) a high degree of confirmation is one of the things we aim at in science, then degree of confirmation cannot be identified with probability.

This may sound paradoxical to some people. But if high probability were an aim of science, then scientists should say as little as possible, and preferably utter tautologies only. But their aim is to 'advance' science, that is to add to its content. Yet this means lowering its probability. And in view of the high content of universal laws, it is neither surprising to find that their probability is zero, nor that those philosophers who believe that science must aim at high probabilities cannot do justice to facts such as these: that the formulation (and testing) of universal laws is considered their most important aim by most scientists: or that the intersubjective testability of science depends upon these laws (as I pointed out in section 8 of my L.Sc.D.).

From what has been said it should be clear that an adequately defined 'degree of confirmation' cannot satisfy the general multiplication principle for probabilities.󰊙󰊚

 

󰊙󰊗 In a note in Mind, 47, 1938, p. 275 f., I said that it was 'desirable to construct a system of axioms' for probability, 'in such a way that it can be... interpreted by any of the different interpretations', of which 'the three most discussed are: (1) the classical definition of probability as the ratio of the favourable to the equally possible cases. (2) the frequency theory... (3) the logical theory, defining probability as the degree of a logical relation between sentences....' (I took this classification from L.Sc.D., section 48, reversing the order of (2) and (3). A similar classification can be found in Probability, p. 24. Contrast also the discussion of the arguments of the probability function in my Mind note with Probability, section 10, A & B, and section 52. In this note I gave an independent formal axiom system which, however, I have much simplified since. It was published in the B.J.P.S., 6, 1955, p. 53. (My Mind note has now been reprinted in L.Sc.D., pp. 320-2.)

󰊙󰊘 Probability, section 53, p. 285; see also section 62. pp. 337 ff.

󰊙󰊙 This is equivalent to the 'content condition' (see note 63 above). Since Carnap considers this condition to be invalid (Probability, section 87, p. 474 'consequence condition'), he is, I believe, committed to agreeing that 'degree of confirmation' cannot be a 'regular confirmation function', i. e. a probability1.

󰊙󰊚 See sections 4-5 of my note 'Degree of Confirmation', L.Sc.D., pp. 396-8. Dr Y. Bar-Hillel has drawn my attention to the fact that some of my examples were anticipated by Carnap in Probability, section 71, p. 394 f., case 3b. Carnap infers from them that the content condition (see notes 63 and 77 above) is 'invalid', but fails to infer that all 'regular confirmation functions' are inadequate.

 

To sum up point (a). Since we aim in science at a high content, we do not aim at a high probability.

(b) The severity of possible tests of a statement or a theory depends (among other factors) on the precision of its assertions and upon its predictive power; in other words, upon its informative content (which increases with these two factors). This may be expressed by saying that the degree of testability of a statement increases with its content. But the better a statement can be tested, the better it can be confirmed, i. e. attested by its tests. Thus we find that the opportunities of confirming a statement, and accordingly the degree of its confirmability or corroborability or attestability, increase with its testability, and with its content.󰊙󰊛

To sum up point (b). Since we want a high degree of confirmation (or corroboration), we need a high content (and thus a low absolute probability).

(c) Those who identify confirmation with probability must believe that a high degree of probability is desirable. They implicitly accept the rule: 'Always choose the most probable hypothesis!'

Now it can be easily shown that this rule is equivalent to the following rule: 'Always choose the hypothesis which goes as little beyond the evidence as possible!' And this, in turn, can be shown to be equivalent, not only to 'Always accept the hypothesis with the lowest content (within the limits of your task, for example, your task of predicting)!', but also to 'Always choose the hypothesis which has the highest degree of ad hoc character (within the limits of your task)!' This is an unintended consequence of the fact that a highly probable hypothesis is one which fits the known facts, going as little as possible beyond them.

But it is well known that ad hoc hypotheses are disliked by scientists: they are, at best, stop-gaps, not real aims. (Scientists prefer a bold hypothesis because it can be more severely tested, and independently tested.)

To sum up point (c). Aiming at high probability entails a counter-intuitive rule favouring ad hoc hypotheses.

These three arguments exemplify my own point of view, for I see in a confirming instance the result of a severe test, or of an attempted (but unsuccessful) refutation of the theory. Those, on the other hand, who do not look for severe tests, but rather for 'confirmation' in the sense of the old idea of 'verification' (or a weakened version of it), come to a different idea of confirmability: a sentence will be the better confirmable the more nearly verifiable it is, or the more nearly deducible from observation sentences. It is clear, in this case, that universal laws are not (as in our analysis) highly confirmable, but that owing to their high content their confirmability will be zero.