추측과 논박 14장 평범한 언어로 자기-언급과 의미 (번역 수정본)

추측과 논박 14장 평범한 언어로 자기-언급과 의미 (번역 수정본).hwp

0.10MB

 

                14장

평범한 언어로 자기-언급과 의미

          (번역 수정본)

 

테아이테토스. 자 소크라테스여, 내가 당신 앞에 내놓을 것이 매우

교묘하니, 내 말을 잘 들으시지요.

소크라테스. 숫자 이론에서 이룬 당신의 업적의 세부사항을 당신이

나에게 내놓지 않고, 평범한 사람인 내가 이해할 수

있는 언어로 말한다면, 최선을 다하겠다고 내가

약속하오, 테아이테토스.

테. 내가 선생님에게 물을 예정인 바로 다음 질문은, 완벽하게 평범한

언어로 표현될지라도, 특별한 것입니다.

소. 나에게 경고할 필요는 없소: 나는 경청하고 있소.

테. 선생님이 마지막으로 끼어든 두 가지 말 사이에서 내가 무엇을

말했지요, 소크라테스?

소. 당신은 이렇게 말했소: ‘내가 선생님에게 물을 예정인 바로 다음

질문은, 완벽하게 평범한 언어로 표현될지라도, 특별한 것입니다.’

테. 그래서 선생님은 내가 말하고 있던 것을 이해했습니까?

소. 물론, 이해했소. 당신의 경고는 당신이 나에게 물을 의도를 지니고

있던 질문에 관한 것이었소.

테. 그리고 나의 경고가 언급했던 나의 이 질문은 무엇이었습니까? 다시

말씀할 수 있습니까?

소. 당신의 질문? 어디 봅시다... 오, 그래요, 당신의 질문은: ‘선생님이

마지막으로 끼어든 두 가지 말 사이에서 내가 무엇을 말했지요,

 

Mind, N.S. 63, 1954년에 처음 발표됨. (나의 저서 열린사회와 그 적들, ii권, 24장의 주석7 또한 참조. [괄호 안의 내용은 이한구 옮김에 누락되었다: 역주])

소크라테스?’이었지요.

테. 소크라테스, 선생님은 약속을 지켰습니다: 선생님은 내가 말하고

있던 것을 정말로 경청했습니다. 그러나 선생님은 선생님이 방금

인용한 나의 이 질문을 이해했습니까?

소. 당신의 질문을 내가 즉각 이해했다는 것을 내가 증명할 수 있다고 나는

생각하오. 이유인즉 당신이 처음 그 질문을 나에게 했을 때 내가

올바르게 대답하지 않았던가요?

테. 그렇습니다. 그러나 그게 특별한 질문이었음을 선생님은 동의합니까?

소. 아니오. 테아이테토스, 그 질문은 공손하게 제시되지는 않았지만

내가 우려하는 바, 이것이 보통의 것과 다르지 않았소. 그 질문

에서 특별한 것이 보이지 않습니다.

테. 내가 무례했다면 미안합니다, 소크라테스; 내 말을 믿어주십시오, 나는

간단히 말하고 싶었을 뿐인데, 그것은 우리의 토론의 저 단계에서

다소 중요했습니다. 그러나 내가 보기에 선생님이 나의 질문을 평범한

것으로 생각한다니 흥미롭습니다 (그 질문의 무례함은 별도로 하고);

어떤 철학자들은 그것이 불가능한 질문이라고 말할 겁니다 ㅡ 아무튼

그 질문에는 의미가 있을 수 없기 때문에 바르게 이해하기가 불가능한

질문이라고.

소. 왜 당신의 질문에는 의미가 없을까?

테. 간접적으로 그 질문이 자체를 언급하기 때문입니다.

소. 이해할 수 없군. 내가 알 수 있는 한 당신의 질문은 당신이 내게 한

경고를 언급할 따름이오, 당신이 질문하기 전의 바로 그 경고

말이오.

테. 그러면 나의 경고는 무엇을 언급했지요?

소. 이제 당신이 의미하는 바를 알겠소. 당신의 경고는 당신의 질문을

언급했고, 당신의 질문은 당신의 경고를 언급했소.

테. 하지만 선생님은 나의 경고와 나의 질문 모두를 이해했다고 말했지요?

소. 나는 당신이 말한 것을 이해하는 데 문제가 없었소.

테. 이것은 한 사람이 말하는 두 가지 것이 간접적으로 자신을 언급하고

있다는 ㅡ 전자(前者)가 후자(後者)를 그리고 후자(後者)가

전자(前者)를 언급한다는 ㅡ 사실에도 불구하고 완전히 유의미할

것임을 증명하는 듯합니다.

소. 정말 그렇게 증명하는 듯하오.

테. 그러면 선생님은 이것이 특수하다고 생각하지 않으십니까?

소. 나에게는 특수하게 보이지 않소. 명백하게 보이요. 왜 당신이 그런

판에 박힌 말에 나의 주목을 끌려고 수고를 해야 하는지 나는

모르겠소.

테. 적어도 함축적으로 많은 철학자들에 의하여 그 말이 부인되었기

때문입니다.

소. 그래요? 당신 때문에 놀랐소.

테. 거짓말쟁이와 같은 (에피메니데스[Epimenides]의 메가라식[Megaric]

해석) 역설은, 유의미하고 합당하게 구축된 서술이 자체를 언급할 수

없기 때문에, 출현할 수 없다고 말하는 철학자를 나는 뜻합니다.

소. 나는 에피메니데스와, ‘내가 지금 말하고 있는 것은 사실이 아니다’라고

말하는 (그리고 다른 것은 말하지 않는) 거짓말쟁이를 아오; 그리고

당신이 방금 말한 해결책이 매력적이오.

테. 하지만 간접적 자기-언급이 허용될 수 있음을 선생님이 인정한다면 그

해결책으로 그 역설을 풀 수 없습니다. 이유인즉 러셀(Russell)과

주르댕(Jourdain) 및 랭포드(Langford)가 (그리고 그들 이전에는

뷔리당[Buridan]) 밝힌 바와 같이, 거짓말쟁이나 에피메니데스는

직접적인 자기-언급 대신에 간접적인 자기-언급을 사용함에 의하여

언명될 수 있기 때문입니다.

소. 그 언명을 즉시 나에게 제시하시오.

테. 다음으로 내가 내놓을 예정인 주장은 참입니다.

소. 당신은 항상 참을 말하지 않소?

테. 내가 바로 앞에 내놓은 주장은 거짓입니다.

소. 그래서 철회하기를 원하오? 좋소, 당신이 다시 시작하시오.

테. 내 주장 두 가지를 합쳐놓으면 무엇이 되는지 선생님은 이해하지

못하는 것 같습니다.

소. 오, 이제 당신이 말하던 것이 암시하는 바를 알겠소. 당신이 전적으로

옳소. 다시 옛 에피메니데스구먼.

테. 나는 직접적인 자기-언급 대신에 간접적인 자기-언급을 사용했습니다;

그게 차이점을 뿐입니다. 그리고 자기-언급적인 주장들의 불가능성을

상술한다고 해서 에피메니데스와 같은 역설들이 해결될 수 없음이

이 사례에 의하여 확립된다고 나는 믿습니다. 이유인즉 직접적인

자기-언급이 불가능하거나 무의미할지라도, 간접적인 자기-언급은

틀림없이 매우 흔한 일이기 때문입니다. 예를 들어 나는 다음과 같이 비평할 것입니다: 소크라테스 선생님이여, 나는 귀하로부터

현명하고도 합당한 비평을 확신하여 기대합니다.

소. 테아이테토스, 확신이 실린 당신의 이 표현은 과도하게 칭찬하는

말이오.

테. 이것으로 인하여 한 비평이 또 다른 비평에 관한 비평이고, 그 또 다른

비평은 차례에 따라 처음 비평에 관한 비평임이 얼마나 쉽게

발생할지가 밝혀집니다. 그러나 이런 방식들로 우리가 역설들을 풀 수

없음을 알자마자, 심지어 직접적인 자기-언급도 철저히 적절할

것임을 우리가 알 겁니다. 실제로 직접적으로 자기-언급적이라

할지라도 비-역설적인 주장들의 많은 사례들이 오랫동안 알려졌지요;

자체의 진실성이나 거짓이 논리적 추론에 의하여 확립될 수 있는 자기-

언급적인 서술들의 많은 사례들과 다소 경험적인 특징을 띠는 자기-

언급적인 서술들 모두의 많은 사례들 말이지요.

소. 경험적으로 참인 자기-언급적 주장의 사례를 내놓을 수 있겠소?

테. ..........................................

소. 당신이 말하는 것이 들리지 않았소, 테아이테토스. 좀 크게 다시

말하시오. 내 청각이 예전과 같지 않소.

테. ‘내가 지금 너무 부드럽게 말해서 친애하는 연로한 소크라테스가 내가

말하는 것을 이해하지 못한다’고 말했습니다.

소. 나는 이 사례가 좋소; 그리고 당신이 그렇게 부드럽게 말할 때, 당신이

진실하게 말하고 있었음을 부인할 수 없소. 또한 이 진실의 경험적

특징을 나는 부인할 수 없소; 이유인즉 내 청각이 더 젊었더라면

그게 거짓으로 판명되었을 터이기 때문이요.

테. 나의 다음 주장의 진실성은 심지어 논리적으로 증명될 수 있을 것인데

예를 들어 기하학자 유클리드가 매우 애호하는 귀류법(歸謬法:

reductio ad absurdum)에 의해서 말입니다.

소. 나는 그를 알지 못하오; 당신은 메가라(Megara) 출신인 사람을

의미하지는 않는 것 같은데. 하지만 나는 당신이 의미하는 귀류법을

알고 있다고 생각하오. 이제 당신의 정리(定理)를 서술하겠소?

테. 내가 지금 말하는 것은 유의미합니다.

소. 괘념치 않는다면 나 자신이 당신의 정리를 증명해보겠소. 귀류법을

목적으로 나는 당신의 마지막 말이 무의미했다는 상정(想定)으로써

시작하겠소. 그러나 이것은 당신의 발언을 부인하여, 당신 발언이

거짓임을 증명할 것이요. 그러나 그 발언이 거짓이라면, 그 발언은

틀림없이 유의미함이 분명하오. 그리하여 나의 상정(想定)은

터무니없소; 이것으로 당신의 정리(定理)가 증명되오.

테. 귀하는 이해했습니다, 소크라테스. 선생님이 지칭하기를 고집하는

바와 같은 나의 정리를 선생님이 증명했습니다. 그러나 몇몇

철학자들은 선생님의 말을 믿지 않을 것입니다. 나의 정리가 (혹은

‘내가 지금 말하는 것은 무의미하다’라는 명시적으로 거짓인

반[反]정리) 역설적이라고 그리고 그것이 역설적이기 때문에

선생님이 그것에 대하여 좋아하는 것 모두를 ㅡ 내 정리의

허위성뿐 아니라 진실성 또한 ㅡ 선생님이 ‘증명할’ 수 있다고

그들은 말할 것입니다.

소. 내가 밝힌 바와 같이, 당신의 반(反)정리 ‘내가 지금 말하는 것은

무의미하다’의 진실성을 상정(想定)하면 부조리에 빠지오. 유사한

논증에 의하여 당신의 반(反)정리의 거짓을 (혹은 당신 정리의

진실성을) 상정(想定)하면 역시 부조리에 빠진다는 것을 그 사람들이

밝히도록 하시오. 그 사람들이 이것에서 성공할 때, 그들은 당신의

반(反)정리의 역설적 특징이나, 당신이 원한다면, 당신의 반(反)정리의

무의미함과 당신 정리의 무의미함 또한 주장할 것이오.

테. 동의합니다, 소크라테스; 게다가 그들이 성공하지 못할 것이어서 나는

완벽하게 만족합니다 ㅡ 적어도 ‘무의미한 발언’에 의하여, 문법을

어기는 방식으로 혹은 다시 말해서 나쁘게 구축된 표현으로 언명되는

표현 같은 것을 그들이 의미한다면.

소. 당신이 매우 확신해서 기쁘오, 테아이테토스; 그러나 당신의 경우를

좀 과신하는 것 아니오?

테. 괘념치 않으시면, 그 질문에 대한 답변을 몇 분 늦추겠습니다. 이유는

누군가가 나의 정리나 나의 반(反)정리가 역설적임을 정말로

밝힐지라도, 그 단어의 가장 뛰어나고 가장 합당한 의미에서, 그

사람은 그리하여 나의 정리나 반(反)정리가 ‘무의미한 것’으로서

기술(記述)될 것임을 밝히는 데 성공하지 못하리라는 사실에 선생님이

주목하기를 내가 먼저 바라기 때문입니다. 이유는 성공하기 위하여

나의 정리의 진실성을 (혹은 ‘내가 지금 말하는 것이 무의미하다’는

나의 반[反]정리의 허위성을) 우리가 상정(想定)한다면, 부조리가

뒤따름을 그 사람이 증명해야 할 것이기 때문입니다. 나의 정리와 나의

반(反)정리의 의미를 이해하지 못하는 사람에 의하여 그런 도출이

시도될 수 없다고 나는 주장하고 싶습니다. 발언의 의미가 이해될

수 있다면 그 발언에는 의미가 있다고 나는 또한 주장하고 싶습니다;

그리고 다시, 발언에 함축된 것이 있다면 (다시 말해서, 그

발언으로부터 무엇이 귀결된다면) 틀림없이 그 발언에는 의미가

있다고 나는 또한 주장하고 싶습니다. 이 견해는 적어도 평범한

용례와 일치하는 것 같은데, 그렇게 생각하지 않습니까?

소. 그렇게 생각하오.

테. 물론, ‘유의미한’이라는 단어를 사용하는 다른 방법들이 없을 것이라고

나는 말하고 싶지 않습니다; 예를 들어, 나의 동료 수학자 한 명은

주장에 대한 유효한 증거를 우리가 가지고 있다는 조건에서만 주장을

‘유의미하다’고 불러야 한다고 제안했습니다. 그러나 이렇게 되면

우리가 유효한 증거를 발견하기 전에 골드바흐(Goldbach)의 것과

같은 추측에 ㅡ ‘모든 짝수는 (2 제외) 두 가지 소수(素數)의 합이다’

ㅡ 대하여 그 추측이 조금이라도 유의미한지를 우리가 알 수 없는

결과가 생깁니다; 게다가 심지어 반례(反例)의 발견으로 그 추측이

반증되는 것이 아니라 그 추측의 의미 결핍이 확인될 따름입니다.

소. 내 생각에 이것은 ‘유의미한’이라는 단어를 사용하는 이상한 방식과

어설픈 방식 양쪽 모두일 거요.

테. 다른 사람들은 좀 더 관대했습니다. 그들은 주장을 증명하거나

반증할 수 있는 방법이 있다면 그리고 그런 조건으로만, 그 주장을

‘유의미하다’고 우리가 불러야 한다고 제안했습니다. 우리가 반례(反例)를

(또는 반례를 구축하는 방법을) 발견한 순간 이것에 의하여 골드바흐의

것과 같은 추측이 유의미하게 될 터입니다. 그러나 우리가 그 주장을

증명하거나 반증하는 방법을 발견하지 못하면, 우리는 그 주장이

유의미한지 여부를 알 수 없습니다.

소. 우리가 어떻게 모든 추측들이나 가설들을 증명하거나 반증하는지 아직

알지 못하기 때문에 그것들을 ‘무의미하’거나 ‘터무니없는 것’으로서

비난하는 일이 내가 보기에 옳지 않소.

테. 다른 사람들은 주장이 사실인지 여부를 밝혀내는 방법을 우리가 안다는

조건으로만 주장을 ‘유의미하다’고 부를 것을 다시 제안했습니다;

다소 동일한 제안이지요.

소. 그건 당신의 이전 제안과 정말로 매우 유사해 보이오.

테. 그러나 ‘유의미한 주장이나 질문’에 의하여, 언어를 아는 사람에 의하여

이해될 수 있는 표현과 같은 것을 우리가 의미하는데, 그것이 그

언어로 서술들이나 질문들을 형성하기 위한 문법적 규칙들에 따라서

형성되기 때문이라면, 다시 자기-언급적인 질문일 것인 나의 다음

질문에 우리가 올바른 대답을 줄 수 있다고 나는 믿습니다.

소. 내가 답변을 할 수 있는지 어디 봅시다.

테. 내가 지금 선생님에게 묻고 있는 질문이 유의미한가요, 무의미한가요?

소. 유의미하오, 그것도 명시적으로 그렇소. 이유인즉 나의 답변이

거짓이라고, 그리고 ‘그것은 무의미하다’는 답변이 참이라고

상정(想定)해보시오. 그렇다면 당신 질문에 참된 답변이 주어질

수 있소. 그러나 답변이 (게다가 참인 답변) 주어질 수 있는 질문은

틀림없이 유의미하오. 그러므로 당신의 질문은 유의미했소, 증명

끝(quod erat demonstrandum).

테. 소크라테스 선생님, 어디서 이 모든 라틴어를 발견했는지 의아합니다.

그러나 선생님의 증명에서 나는 결점을 찾을 수 없습니다; 결국 그것은

선생님이 나의 ‘정리’라고 부른 것에 대한 선생님의 해석일 뿐입니다.

소. 당신이 자기-언급적 주장들이 항상 무의미하다는 제안을 제거한

것으로 나는 생각하오. 그러나 나는 이것을 인정한 데 대하여

유감스러운데, 이유는 그게 역설들을 제거하는 그렇게 쉬운 방법으로

보였기 때문이오.

테 유감스러워할 필요가 없습니다: 이런 방향에서 출구가 없을

따름입니다.

소. 왜 없지요?

테. 나중에 참이거나 거짓이 될 수 있는 유의미한 서술들로 그리고

무의미하거나 터무니없고 혹은 합당하게 구축되지 않은 (또는 몇몇

철학자들이 선호하여 지칭했던 바와 같이 ‘사이비-서술[pseudo-

statements]’이나 ‘불확정 명제들[indefinite propositions]’) 그리고

참도 거짓도 될 수 없는 말들로, 우리의 발언들과 표현들을 분할함에

의하여 역설들을 푸는 방법이 있다고 어떤 사람들은 생각하는 듯합니다.

역설적인 발언이 이

세 가지 배타적이고 망라적인 부류들 ㅡ 참, 거짓 그리고 무의미 ㅡ

중에서 세 번째 것으로 분류됨을 그 사람들이 밝힐 수 있다면, 문제의

역설에 해결책이 있었다고 그들은 믿을 겁니다.

소. 바로 그거요. 내가 확신은 못하더라도 이것이 내가 염두에 두고

있는 방식이요; 그리고 나는 그 방식은 매력적임을 알았소.

테. 그러나 그 역설이 무의미한 발언들의 이 세 번째 부류에 속함을

우리가 증명할 수 있을지라도 거짓말쟁이의 역설과 같은 역설을 이

세 가지 부류로 분류하는 것에 근거하여 해결하는 일이 조금이라도

가능한지를 이 사람들은 자문하지 않습니다.

소. 당신 말을 이해하지 못하오. ‘U’가 ‘U는 거짓이다’라는 바로 이

발언의 명칭일 때마다 ‘U는 거짓이다’라는 형태의 발언이 무의미함을

확립하는 증거를 찾는 데 그들이 성공했다고 상정(想定)하시오. 왜

이것이 역설을 풀지 못하오?

테. 풀지 못할 겁니다. 역설을 변화시킬 따름일 겁니다. 그 이유는 U

자체가 ‘U는 거짓이다’라는 발언이라는 상정(想定) 하에 정확하게

이 세 겹의 발언들 분류의 도움을 받아서 U가 무의미하다는 가설을

내가 반증할 수 있기 때문입니다.

소. 당신이 옳다면, U가 무의미하다는 가설의 증거에 의하여 정말로 반증될

수 있을 뿐 아니라 증명될 수 있는 새로운 서술이 확립되고 그리하여

새로운 역설이 설정될 수 있을 따름일 텐데. 그러나 U가 무의하다는

가설을 당신은 어떻게 반증할 수 있소?

테. 다시 귀류법을 사용하지요. 매우 일반적으로 우리는 우리의

분류로부터 두 가지 규칙들을 읽어낼 수 있습니다. (i) ‘X는

무의미하다’의 진실성으로부터 우리는 ‘X는 참이다’의 거짓됨을

그리고 또한 (여기서 우리의 흥미를 끄는 것) ‘X는 거짓이다’의

거짓됨을 도출할 수 있습니다. (ii) 발언 Y의 거짓됨으로부터 우리는

Y가 유의미하다고 결론을 내릴 수 있습니다. 이 규칙들에 따라서

우리의 가설 ‘U는 무의미하다’의 진실성으로부터 우리는 (i)에 의하여

‘U는 거짓이다’의 거짓됨을 도출할 수 있습니다; (ii)에 의하여 ‘U는

거짓이다’가 유의미하다고 결론을 내립니다. 그러나 ‘U는 거짓이다’가

U 자체일 따름이기 때문에, 우리는 (다시 (ii)에 의하여) U가

유의미하다고 밝혔습니다; 이것으로 귀류법은 종결됩니다. (부언하여

우리의 가설에 있는 진실성이 ‘U는 거짓이다’의 거짓됨을 수반하기

때문에, 그것은 또한 우리의 원래 역설을 수반합니다.)

소. 이것은 놀라운 결과요: 당신이 문으로 거짓말쟁이를 쫓아냈다고

생각하는 바로 그 순간 창문을 통하여 돌아오는 거짓말쟁이라니. 이

역설들을 제거할 방법이 전혀 없는가?

테. 매우 간단한 방법이 있습니다, 소크라테스.

소. 그게 무엇이요?

테. 거의 모든 사람이 행동하는 바와 같이 역설들을 피하기만 하고

역설들에 관하여 괘념치 마시지요.

소. 그것으로 충분할까? 그 방법이 안전할까?

테. 평범한 언어를 대하여 그리고 평범한 목적들을 위하여서는 그 방법이

충분하고 매우 안전한 듯합니다. 우리가 안 바와 같이 역설들이

평범한 언어로 구축될 수 있고 이해될 수 있기 때문에, 아무튼

선생님은 평범한 언어로 다른 일을 할 수 없습니다.

소. 그러나 가령 직접적이든 간접적이든 여하한 종류의 자기-언급이

회피되어야 한다고 법을 만들어서, 그리하여 우리의 언어로부터

역설들을 우리가 정화할 수 있지 않을까?

테. 우리가 아마도 그렇게 시도하겠지요 (그렇게 하면 새로운 난제들이

혹시 생길지라도). 그러나 우리가 이런 방식으로 법을 만들어

겨냥하는 언어는 더 이상 우리의 평범한 언어가 아닙니다; 인위적인

규칙들은 인위적인 언어를 만듭니다. 적어도 간접적인 자기-언급이

완전히 평범한 일임이 우리의 토론에서 밝혀지지 않았던가요?

소. 그러나 가령 수학에 대하여 다소 인위적인 언어가 합당할 텐데,

그렇지 않소?

테. 그럴 테지요; 그리고 합당하게 수행된다면 아마도 ‘형식화된 언어’로

불릴 인위적 규칙들을 지닌 언어의 구축을 위하여, 역설들이

(우리가 피하고 싶어 하는) 평범한 언어에서 발생할 수 있다는

사실로부터 우리가 암시를 받을 수 있습니다.

소. 그래서 당신은, 내 생각에, 당신의 형식화된 언어를 위하여 모든

자기-언급이 엄격하게 배제되어야 한다는 법을 만들고 싶어 하지요.

그렇지 않소?

테. 아닙니다. 그런 급격한 조치들을 사용하지 않고도 우리는 역설들을

피할 수 있습니다.

소. 그 조치들을 당신은 급격하다고 부르오?

테. 그 조치들은 몇 가지 매우 흥미로운 자기-언급 용례들을, 특히 나

자신의 관심 분야인 숫자 이론에서 매우 중요한 적용사례들을 갖는

방법인 괴델(Gödel)의 자기-언급적 서술들을 구축하는 방법을 배제할

것이기 때문에 급격합니다. 게다가 일관적인 언어에서 ㅡ 그 언어를

‘L’이라고 부릅시다 ㅡ ‘L에서 참인’ 그리고 ‘L에서 거짓인’이라는

술어들이 발생할 수 없다는 (발생할 것인 ‘L에서 유의미한’과 ‘L에서

무의미한’과 반대로) 것과 그리고 이것들과 같은 술어들 없다면

에피메니데스(Epimenides) 유형, 혹은 그렐링(Grelling)의

스스로에게 적용되지 않는(heterological) 형용사들에 관한 역설들

유형의 역설들이 언명될 수 없다는 것을 우리가 타스키(Tarski)로부터

배웠기 때문에 그 조치들은 급격합니다. 이 암시는 이 역설들이

회피되는 형식화된 언어를 구축하기에 충분한 것으로 판명됩니다.

소. 이 모든 수학자들은 누구요? 테오도로스(Theodorus)는 그 사람들의

이름을 언급한 적이 없소.

테. 이방인들입니다, 소크라테스. 그러나 그들은 매우 유능합니다.

괴델(Gödel)의 ‘산술화 방법(method of arithmetization)’은, 현재

그렇게 불리는 바와 같이, 우리의 현재 토론 맥락에서 특히

흥미롭습니다.

소. 또 다른 자기-언급이군, 게다가 완전히 평범한 것이고. 나는 이런

것들에 다소 과민해지기 시작했소.

테. 괴델의 방법은 어떤 비-산술적 주장들을 산술적 주장들로 변환시키는

것이라고 아마도 사람들은 말할 겁니다; 말하자면 비-산술적 주장들이

산술적 부호로 변하지요; 그리고 그렇게 부호화될 수 있는 주장들

가운데는 선생님이 나의 정리(定理)로 농담 삼아 기술(記述)했던 것이

우연히도 있습니다. 좀 더 정확하게, 괴델의 산술적 부호로 변환될

수 있는 주장은 자기-언급적 서술인 ‘이 표현은 잘 형성된 공식이다’

입니다; 여기서 ‘잘 형성된 공식’은 물론 ‘유의미한(meaningful)’이라는

단어를 대체합니다. 선생님이 기억하겠지만 나의 정리가 반증될 수

없다는 것을 선생님이 좋아할 것이라고 내가 다소 너무 과신했습니다.

내가 지니고 있었던 이유는 단지 괴델의 부호로 변환될 때 나의 정리는

산술의 정리가 된다는 것이었습니다. 나의 정리는 증명될 수 있고

그 정리의 부정은 반증될 수 있습니다. 이제 누가, 유효한 논증에

의하여 (아마도 선생님 자신의 증거와 유사한 논증에 의하여) 나의

정리를 반증하는 데 성공한다면 ㅡ 예를 들어 나의 정리에 대한

부정이 거짓이라는 상정(想定)으로부터 불합리를 도출함에 의하여 ㅡ

상응하는 산술적 정리에 대해서도 동일한 것을 밝히는 데 이 논증이

사용될 수 있을 것입니다; 그리고 이것에 의하여 즉시 우리에게

‘0 = 1’을 증명하는 방법이 제공될 것이기 때문에, 나의 정리가

반증될 수 없다고 믿을 충분한 이유가 나에게 있다고 나는 느낍니다.

소. 전문적인 지식에 들어가지 않고 괴델의 부호화 방법을 설명할 수

있소?

테. 이전에 실행되었기 때문에 이것을 지금 할 필요가 없습니다 ㅡ 내가

이전을 우리들의 작은 대화와 관련하여 예상되는 극적인 날짜인

(기원전 약 400년) 지금을 의미하는 것이 아니고, 우리의 대화가

그 대화를 만든 사람에 의하여 엮어지기 이전을 나는 의미하는데,

그 엮어짐은 2,350년이 경과하고서야 실행될 것입니다.

소. 나는 당신의 이 마지막 자기-언급들에 의하여 충격을 받았소,

테아이테투스. 우리가 연극 대사를 암송하는 배우들인 것처럼 당신은

말하오. 몇몇 극작가들은 이것이 재치 있다고 생각하지만 그들 때문에

희생당하는 사람들은 그렇게 생각하지 않는 속임수라고 나는 우려하오;

아무튼 나는 그렇게 생각하지 않소. 그러나 그런 자기-언급적 농담보다

훨씬 더 나쁜 것은 이 웃기는, 아니 이 터무니없는 당신의 연표요.

진정으로 나는 어느 곳에 금을 그어야겠군, 테아이테토스, 그리고 이

시점에서 나는 금을 긋소.

테. 자, 소크라테스여, 연표에 누가 신경을 씁니까? 관념에는 시간이

없습니다.

소. 형이상학을 경계하시오, 테아이테토스!

ㅡ “추측과 논박, 과학적 지식의 성장”, 1989년, 칼 포퍼 ㅡ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

SELF-REFERENCE AND MEANING

IN ORDINARY LANGUAGE

 

Theaetetus. Now listen to me attentively, Socrates, for what I shall put before you is not a little tricky.

Socrates. I promise to do my best, Theaetetus, so long as you

spare me the details of your achievements in the theory

of numbers, and speak in a language which I, an

ordinary man, can understand.

Th. The very next question which I am going to ask you is an extraordinary one, although expressed in perfectly ordinary

language.

S. There is no need to warn me: I am all ears.

Th. What did I say between your last two interruptions, Socrates?

S. You said: 'The very next question which I am going to ask you

is an extraordinary one, although expressed in perfectly

ordinary language.'

Th. And did you understand what I was saying?

S. I did, of course. Your warning referred to a question which you

intended to ask me.

Th. And what was this question of mine to which my warning

referred? Can you repeat it?

S. Your question? Let me see... Oh, yes, your question was: 'What

did I say between your last two interruptions, Socrates?'

 

First published in Mind, N.S. 63, 1954. (See also my Open Society, vol. ii, note 7 to ch. 24.)

 

 

Th. I see you have kept your promise, Socrates: you did attend to

what I was saying. But did you understand this question of

mine which you have just quoted?

S. I think I can prove that I understand your question at once. For

did I not reply correctly when you first put it to me?

Th. That is so. But do you agree that it was an extraordinary

question?

S. No. Admittedly, it was not very politely put, Theaetetus, but this,

I am afraid, is nothing out of the ordinary. No, I can't see any-

thing extraordinary in it.

Th. I am sorry if I was rude, Socrates; believe me, I only wanted to

be brief, which was of some importance at that stage of our

discussion. But I find it interesting that you think my question an ordinary one (apart from its rudeness); for some philosophers might say that it is an impossible question - at any rate one which it is impossible to understand properly, since it can have no meaning.

S. Why should your question have no meaning?

Th. Because indirectly it referred to itself.

S. I do not see this. As far as I can see, your question only

referred to the warning you gave me, just before you asked it.

Th. And what did my warning refer to?

S. Now I see what you mean. Your warning referred to your

question, and your question to your warning.

Th. But you say that you understood both, my warning and my

question?

S. I had no trouble at all in understanding what you said.

Th. This seems to prove that two things a person says may be

perfectly meaningful in spite of the fact that they are

indirectly self-referring - that the first refers to the second

and the second to the first.

S. It does seem to prove it.

Th. And don't you think that this is extraordinary?

S. To me it does not appear extraordinary. It seems obvious. I do

not see why you should bother to draw my attention to such a

truism.

Th. Because it has been denied, at least implicitly, by many

philosophers.

S. Has it? You surprise me.

Th. I mean the philosophers who say that a paradox such as the

Liar (the Megaric version of the Epimenides) cannot arise

because a meaningful and properly constructed statement

cannot refer to itself.

S. I know the Epimenides and the Liar who says, 'What I am now

saying is untrue' (and nothing else); and I find the solution you just mentioned attractive.

Th. But it cannot solve the paradox if you admit that indirect self-

reference is admissible. For, as Russell and Jourdain and

Langford have shown (and Buridan before them), the Liar or

the Epimenides can be formulated by using indirect self-

reference instead of direct self-reference.

S. Please give me this formulation at once.

Th. The next assertion I am going to make is a true one.

S. Don't you always speak the truth?

Th. The last assertion I made was untrue.

S. So you wish to withdraw? All right, you may begin again.

Th. You don't seem to realize what my two assertions taken

together amounted to.

S. Oh, now I see the implications of what you were saying. You

are quite right. It is old Epimenides all over again.

Th. I have used indirect self-reference instead of direct self-

reference; that is the only difference. And this example

establishes, I believe, that such paradoxes as the Epimenides

cannot be solved by dwelling on the impossibility of self-

referring assertions. For even if direct self-reference were

impossible, or meaningless, indirect self-reference is certainly

quite a common thing. I may, for example, make the following

comment: I am confidently looking forward to a clever and

appropriate remark from you, Socrates.

S. This expression of your confidence, Theaetetus, is highly flattering.

Th. This shows how easily it may occur that a comment is comment upon another one, which in its turn is a comment upon the first. But once we see that we cannot solve the paradoxes in this way, we shall see that even direct self-reference may be perfectly in order. In fact, many examples of non-paradoxical although directly self-referring assertions have been known for a long time; both of self-referring statements of a more or less empirical character and of self-referring statements whose truth or falsity can be established by logical reasoning.

S. Could you produce an example of a self-referring assertion which is empirically true?

Th. ............................................

S. I could not hear what you were saying, Theaetetus. Please repeat it a little louder. My hearing is no longer what it used

to be.

Th. I said: 'I am now speaking so softly that dear old Socrates

cannot make out what I am saying.'

S. I like this example; and I cannot deny that, when you were

speaking so softly, you were speaking truthfully. Nor can I

deny the empirical character of this truth; for had my ears

been younger, it would have turned out an untruth.

Th. The truth of my next assertion will be even logically demonstrable, for example by a reductio ad absurdum, a method most beloved of Euclid the Geometrician.

S. I do not know him; you don't mean the man from Megara, I presume. But I think I know what you mean by a reductio.

Will you now state your theorem?

Th. What I am now saying is meaningful.

S. If you don't mind I shall try to prove your theorem myself. For

the purpose of a reductio I begin with the assumption that your

last utterance was meaningless. This, however, turns out to

contradict your utterance, and thus to entail the falsity of your

utterance. But if an utterance is false, then it must clearly be

meaningful. Thus my assumption is absurd; which proves your

theorem.

Th. You have got it, Socrates. You have proved my theorem, as

you insist on calling it. But some philosophers may not believe

you. They will say that my theorem (or the demonstrably false

antitheorem 'What I am now saying is meaningless') was

paradoxical, and that, since it is paradoxical, you can 'prove'

whatever you like about it - its truth as well as its falsity.

S. As I showed, the assumption of the truth of your antitheorem

'What I am now saying is meaningless' leads to an absurdity.

Let them show, by a similar argument, that the assumption of

its falsity (or of the truth of your theorem) leads to an

absurdity also. When they succeed in this, then they may claim

its paradoxical character or, if you like, its meaninglessness,

and the meaninglessness of your theorem also.

Th. I agree, Socrates; moreover, I am perfectly satisfied that they

will not succeed - at least as long as by 'a meaningless

utterance' they mean something like an expression which is

formulated in a manner which violates the rules of grammar,

or in other words, a badly constructed expression.

S. I am glad that you feel so sure, Theaetetus; but are you not

just a little too sure of our case?

Th. If you don't mind, I'll postpone the answer to that question for

a minute or two. My reason is that I should like first to draw

your attention to the fact that even if somebody did show that

my theorem, or else my antitheorem, was paradoxical, he would

not thereby have succeeded in showing that it is to be

described as 'meaningless', in the best and most appropriate

sense of the word. For in order to succeed he would have to

show that, if we assume the truth of my theorem (or the falsity

of my antitheorem 'What I am now saying is meaningless'), an absurdity follows. I should be inclined to argue that such a

derivation cannot be attempted by anybody who does not

understand the meaning of my theorem and my antitheorem.

And I should also be inclined to argue that, if the meaning of

an utterance can be understood, then the utterance has a

meaning; and again, that, if it has any implications (that is to

say, if anything follows from it), it must also have a meaning.

This view, at least, seems to be in accordance with ordinary

usage, don't you think so?

S. I do.

Th. Of course, I do not wish to say that there may not be other

ways of using the word 'meaningful'; for example, one of my

fellow-mathematicians has suggested that we call an assertion

'meaningful' only if we possess a valid proof of it. But this

would have the consequence that we could not know of a

conjecture such as Goldbach's - 'Every even number (except 2)

is the sum of two primes' - whether it is at all meaningful,

before we have found a valid proof of it; moreover, even the

discovery of a counter example would not disprove the

conjecture but only confirm its lack of meaning.

S. I think this would be both a strange way and an awkward way

of using the word 'meaningful'.

Th. Other people have been a little more liberal. They suggested

that we should call an assertion 'meaningful' if, only if, there

is a method which can either prove it or disprove it. This would

make a conjecture such as Goldbach's meaningful the moment

we have found a counter example (or a method of constructing

one). But as long as we have not found a method of proving or

disproving, we cannot know whether or not it is meaningful.

S. It does not seem right to me to denounce all conjectures or

hypotheses as 'meaningless' or 'nonsensical' simply because we

don't know yet how to prove them or disprove them.

Th. Others again have suggested calling an assertion 'meaningful'

only if we know how to find out whether it is true or false; a

suggestion which amounts more or less to the same.

S. It does look to me very similar to your previous suggestion.

Th. If, however, we mean by 'a meaningful assertion or question'

something like an expression which is understandable by

anybody knowing the language, because it is formed in

accordance with the grammatical rules for the formation of

statements or questions in that language, then, I believe, we

can give a correct answer to my next question which again

will be a self-referring one.

S. Let me see whether I can answer it.

Th. Is the question I am now asking you meaningful or meaningless?

S. It is meaningful, and demonstrably so. For assume my answer to

be false and the answer, 'It is meaningless', to be true. Then a

true answer to your question can be given. But a question to

which an answer can be given (and a true answer at that) must

be meaningful. Therefore your question was meaningful, quod

erat demonstrandum.

th. I wonder where you picked up all this Latin, Socrates. Still, I can find no flaw in your demonstration; it is, after all, only a version of your proof of what you call my 'theorem'.

S. I think you have disposed of the suggestion that self-referring

assertions are always meaningless. But I am sad at this

admission, for it seemed such a straightforward way of getting

rid of the paradoxes.

Th. You need not be sad: there simply was no way out in this

direction.

S. Why not?

Th. Some people seem to think that there is a way of solving the

paradoxes by dividing our utterances or expressions into

meaningful statements which, in turn, can be either true or false, and utterances which are meaningless or nonsensical or

not properly constructed (or 'pseudo-statements', or 'indefinite

propositions' as some philosophers preferred to call them), and

which can be neither true or false. If they could only show that

a paradoxical utterance falls into the third of these three exclusive and exhaustive classes - true, false, and meaningless - then, they believe, the paradox in question would

have found its solution.

S. Precisely. This was the way I had in mind, though I was not so

clear about it; and I found it attractive.

Th. But these people don't ask themselves whether it is at all possible to solve a paradox such as that of the liar on the basis of a classification into these three classes, even if we

could prove that it belongs to this third class of meaningless

utterances.

S. I don't follow you. Assume they have succeeded in finding a

proof which establishes that an utterance of the form 'U is false' is meaningless, whenever 'U'' is a name of this very

utterance 'U is false'. Why should this not solve the paradox?

Th. It would not. It would only shift it. For under the assumption

that U is itself the utterance 'U is false', I can disprove the

hypothesis that U is meaningless with the help of precisely this threefold classification of utterances.

S. If you are right, then a proof of the hypothesis that U is

meaningless would indeed only establish a new statement which can be proved as well as disproved, and therefore

a new paradox. But how can you disprove the hypothesis that

U is meaningless?

Th. Again by a reductio. Quite generally, we can read off from our

classification two rules. (i) From the truth of 'X is meaningless'

we can derive the falsity of 'X is true' and also (what interests

us here), the falsity of 'X is false'. (ii) From the falsity of any

utterance Y, we can conclude that Y is meaningful. According

to the these rules, we can find that from the truth of our

hypothesis, 'U is meaningless', we can derive by (i) the falsity

of 'U is false'; concluding by (ii) that 'U is false' is meaningful.

But since 'U is false' is nothing but U itself, we have shown

(by (ii) again) that U is meaningful; which concludes the

reductio. (Incidentally, since the truth of our hypothesis entails

the falsity of 'U is false', it also entails our original paradox.)

S. This is a surprising result: a Liar who comes back by the window, just when you think you have got rid of him by the

door. Is there no way whatever of eliminating these paradoxes?

Th. There is a very simple way, Socrates.

S. What is it?

Th. Just avoid them, as nearly everybody does, and don't worry

about them.

S. But is this sufficient? Is this safe?

Th. For ordinary language and for ordinary purposes it seems

sufficient and quite safe. At any rate, you can do nothing else

in ordinary language, since paradoxes can be constructed in it,

and are understandable, as we have seen.

S. But could we not legislate, say, that any kind of self-reference,

whether direct or indirect, should be avoided, and thereby

purify our language of paradoxes?

Th. We might try to do this (although it might lead to new difficulties). But a language for which we legislate in this way

is no longer our ordinary language; artificial rules make an

artificial language. Has not our discussion shown that at least

indirect self-reference is quite an ordinary thing?

S. But for mathematics, say, a somewhat artificial language would

be appropriate, would it not?

Th. It would; and for the construction of a language with artificial

rules which, if it is properly done, might be called a 'formalized language', we shall take hints from the fact that

paradoxes (which we wish to avoid) can occur in ordinary

language.

S. And you would legislate for your formalized language, I suppose, that all self-reference must be strictly excluded,

would you not?

Th. No. We can avoid paradoxes without using such drastic

measures.

S. Do you call them drastic?

Th. They are drastic because they would exclude some very

interesting uses of self-reference, especially Gödel's method

of constructing self-referring statements, a method which has

most important applications in my own field of interest, the

theory of numbers. They are drastic, moreover, because we

have learned from Tarski that in any consistent language -

let us call it 'L' - the predicates 'true in L' and 'false in L'

cannot occur (as opposed to 'meaningful in L', and

'meaningless in L' which may occur), and that without predicates such as these, paradoxes of the type of the Epimenides, or of Grelling's paradoxes of the heterological

adjectives, cannot be formulated. This hint turns out to be

sufficient for the construction of formalized languages in which

these paradoxes are avoided.

S. Who are all these mathematicians? Theodorus never mentioned

their names.

Th. Barbarians, Socrates. But they are very able. Gödel's 'method of

arithmetization', as it is called, is especially interesting in the

context of our present discussion.

S. Another self-reference, and quite an ordinary one. I am getting a

bit hyper-sensitive to these things.

Th. Gödel's method, one might say, is to translate certain non-

arithmetical assertions into arithmetical ones; they are turned

into an arithmetical code, as it were; and among the assertions

which can be so coded there happens to be also the one which

you have jokingly described as my theorem. To be a little more

exact, the assertion which can be turned into Gödel's arithmetical code is the self-referring statement, 'This expression is a well-formed formula'; here 'well-formed formula

replaces, of course, the word 'meaningful'. I felt, you will

remember, a little too sure for your liking that my theorem

cannot be disproved. My reason was, simply, that when turned

into the Gödelian code, my theorem becomes a theorem of

arithmetic. It is demonstrable, and its negation is refutable. Now

if anybody were to succeed, by a valid argument (perhaps by

one similar to your own proof) in disproving my theorem - for

example, by deriving an absurdity from the assumption that the

negation of my theorem is false - then this argument could be

used to show the same of the corresponding arithmetical

theorem; and since this would at once provide us with a method

of proving '0 = 1', I feel that I have good reasons for believing

that my theorem cannot be disproved.

S. Could you explain Gödel's method of coding without getting

involved in technicalities?

Th. There is no need to do this since it has been done before -

I do not mean before now, the supposed dramatic date of this

little dialogue of ours (which is about 400 B.C.), but I mean

before our dialogue will ever be concocted by its author, which

won't take place before another 2,350 years have elapsed.

S. I am shocked, Theaetetus, by these latest self-references of

yours. You talk as if we were actors reciting the lines of a

play. This is a trick which, I am afraid, some playwrights think

witty, but hardly their victims; anyway, I don't. But even worse

than any such self-referring joke is this preposterous, nay,

this nonsensical chronology of yours. Seriously, I must draw

a line somewhere, Theaetus, and I am drawing it here.

Th. Come, Socrates, who cares about chronology? Ideas are timeless.

S. Beware of metaphysics, Theaetetus!

 

-"Conjectures and Refutations, The Growth of Scientific Knowledge", Karl R. Popper -