GEOMETRIE UND ERFAHRUNG

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050/1:0: |aQA681 |b.E5

100:1 : I a Einstein, Albert, | d 1879-1955.

245:10: | a Geometrie und Erfahrung; | b erweiterte Fassung des Festvortrages
gehalten an der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin am 27.
Januar 1921 | c von Albert Einstein, mit 2 Textabbildungen.

260: : | a Berlin, | b J. Springer, |cl921.



300/1
650/1
710/1:



: I a 20 p, I b diagrs. | c 22 cm.
0: I a Geometry | x Foundations
:2 : I a Deutsche Akademie der Wissenschaften zu Berlin.



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GEOMETRIE
UND ERFAHRUNG



ERWEITERTE FASSUNG DES F E ST VORTRAGES

GEHALTEN AN DER PREUSSISCHEN AKADEMIE

DER WISSENSCHAFTEN ZU BERLIN

AM 27. JANUAR 1921



ALBERT EINSTEIN



BERLIN

VERLAG VON JULIUS SPRINGER

1921



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Alle Rechte vorbehalten.
Copyright 1921 by Julius Springer in Berlin.



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Uie Mathematik genießt vor allen anderen Wissen-
schaften aus einem Grunde ein besonderes Ansehen; ihre
Sätze sind absolut sicher und unbestreitbar, während die
aller andern Wissenschaften bis zu einem gewissen Grad
umstritten und stets in Gefahr sind, durch neu entdeckte
Tatsachen umgestoßen zu werden. Trotzdem brauchte der
auf einem anderen Gebiete Forschende den Mathematiker
noch nicht zu beneiden, wenn sich seine Sätze nicht auf
Gegenstände der Wirklichkeit, sondern nur auf solche
unserer bloßen Einbildung bezögen. Denn es kann nicht
wundernehmen, wenn man zu übereinstimmenden logischen
Folgerungen kommt, nachdem man sich über die fundamen-
talen Sätze (Axiome) sowie über die Methoden geeinigt
hat, vermittels welcher aus diesen fundamentalen Sätzen
andere Satze abgeleitet werden sollen. Aber jenes große
Ansehen der Mathematik ruht andererseits darauf, daß die
Mathematik es auch ist, die den exakten Naturwissen-
schaften ein gewisses Maß von Sicherheit gibt, das sie ohne
Mathematik nicht erreichen könnten.

An dieser Stelle nun taucht ein Rätsel auf, das
Forscher aller Zeiten so viel beunruhigt hat. Wie ist es
möglich, daß die Mathematik, die doch ein von aller Er-
fahrung unabhängiges Produkt des menschlichen Denkens
ist, auf die Gegenstände der Wirklichkeit so vortrefflich
paßt? Kann denn die menschliche Vernunft ohne Er-
fahrung durch bloßes Denken Eigenschaften der wirklichen
Dinge ergründen?

Hierauf ist nach meiner Ansicht kurz zu antworten :
Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklich-



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— 4 —

keit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher
sind, beziehen sie sich nicht auf die WiikHchkeit. Die volle
Klarheit über die Sachlage scheint mir erst durch diejenige
Richtung in der Mathematik Besitz der Allgemeinheit ge*
worden zu sein, welche unter dem Namen ,,Axiomatik" be-
kannt ist. Der von der Axiomatik erzielte Fortschritt be-
steht nämlich darin, daß durch sie das Logisch-Formale
vom sachlichen oder anschaulichen Gehalt sauber getrennt
wurde; nur das Logisch-Formale bildet gemäß der Axio-
matik den Gegenstand der Mathematik, nicht aber der mit
dem Logisch-Formalen verknüpfte anKchauiiche oder
sonstige Inhalt.

Betrachten Avir einmal von diesem Gesichtspunkte aus
irgendein Axiom der Geometrie, etwa das folgende: Durch
zwei Punkte des Raumes geht stets eine und nur eine Ge-
rade. Wie ist dies Axiom im älteren und im neueren Sinne
zw interpretieren?

Ältere Interpretation. Joder weiß, was eine Gerade ist
und was ein Punkt ist. Ob dies Wissen aus einem Ver-
mögen des menschlichen Geistes oder aus der Erfahrung,
aus einem Zusammenwirken beider oder sonstwoher stammt,
braucht der Mathematiker nicht zu entscheiden, sondeni
überläßt diese Entscheidung dem Philosophen. Gestützt
auf diese vor aller Mathematik gegebene Kenntnis ist das
genannte Axiom (sowie alle anderen Axiome) evident,
d. h. es ist der Ausdruck für einen Teil dieser Kenntnis
a priori.

Neuere Interpretation, Die Geometrie handelt von
Gegenständen, die mit den Worten Gerade, Punkt usw, be-
zeichnet werden. Irgendeine Kenntnis oder Anschauung
wird von diesen Gegenständen nicht vorausgesetzt, sondern
nur die Gültigkeit jener ebenfalls rein formal, d. h. losgelöst
von jedem Anschauungs- und Erlebnisinhalte aufzufassenden



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Axiome, von denen das genannte ein Beispiel ist. Diese
Axiome sind freie SciiÖpfungen des menschlichen Geistes,
Alle anderen geometrischen Sätze sind logische Folgerungen
aus den (nur nomiiialistisch aufzufassenden) Axiomen. Die
Axiome definieren erst die Gegenstände, von denen die Geo-
metrie handelt. Schlick hat die Axiome deshalb in seinem
Buche über Erkenntnistheorie sehr treffend als „implizite
Definitionen" bezeichnet.

Diese von der modernen Axiomatik vertretene Auf-
fassung der Axiome säubert die Mathematik von allen nicht
zu ihr gehörigen Elementen und beseitigt so das mystische
Dunkel, welches der Grundlage der Mathematik vorher an-
haftete. Eine solche gereinigte Darstellung macht es aber
auch evident, daß die Mathematik als solche weder über
Gegenstände der anschaulichen Vorstellung noch über
Gegenstände der Wirklichkeit etwas auszusagen vermag.
Unter „Punkt", „Gerade" usw. sind in der axiomatischen
Geometrie nur inhaltsleere BegrifFsschemata zu verstehen.
Was ihnen Inhalt gibt, gehört nicht zur Mathematik.

Anderseits ist es aber doch sicher, daß die Mathematik
überhaupt und im speziellen auch die Geometrie ihre Ent-
stehung dem Bedürfnis verdankt, etwas zu erfahren über
das Verhalten wirklicher Dinge. Das Wort Geometrie,
welches ja „Erdmessung" bedeutet, beweist dies schon.
Denn die Erdmessung handelt von de« Möglichkeiten der
relativen Lagerung gewisser Naturkörper zueinander, näm-
lich von Teilen des Erdkörpers, Meflschnüren, Meßlatten
usw. Es ist klar, daß das B^riffssystem der axiomatischen
Geometrie allein über das Verhalten derartiger Gegenstände
der Wirklichkeit, die wir als praktisch-starre Körper be-
zeichnen wollen, keine Aussagen liefern kann. Um derartige
Aussagen liefern zu können, muß die Geometrie dadurch
ihres nur logisch-formalen Charakters entkleidet werden, daß



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den leeren BegrifEsscheraeu der axiomatischen Geometrie er-
lebbare Gegenstände der Wirklichkeit (Erlebnisse) zug-eord-
net werden. Um dies zu bewerkstelligen, braucht man nur
den Satz zuzufügen :

Feste Körper verhalten sich bezüglich ihrer Lagerungs-
möglichkeiten wie Körper der euklidischen Geometrie von
drei Dimensionen; dann enthalten die Sätze der euklidischen
Geometrie Aussagen über das Verhalten praktisch starrer
Körper.

Die so ergänzte Geometrie ist offenbar eine Natur-
wissenschaft; wir können sie geradezu als den ältesten
Zweig der Physik betrachten. Ihre Aussagen beruhen im
wesentlichen auf Induktion aus der Erfahrung, nicht aber
nur auf logischen Schlüssen. Wir wollen die so ergänzte
Geometrie „praktische Geometrie" nennen und sie im folgen-
den von der „rein axiomatischen Geometrie" unterscheiden.
Die Frage, ob die praktische Geometrie der Welt eine eu-
klidische sei oder nicht, hat einen deutlichen Sinn, und ihre
Beantwortung kann nur durch die Erfahrung geliefert
werden. Alle Längenmessung in der Physik ist praktische
Geometrie in diesem Sinne, die geodätische und astro-
nomische Längenraessung ebenfalls, wenn man den Er-
fahrungssatz zu Hilfe nimmt, daß sich das Licht in gerader
Linie fortpflanzt, und zwar in gerader Linie im Sinne der
praktischen Geometrie.

Dieser geschilderten Auffassung der Geometrie lege ich
deshalb besondere Bedeutung bei, weil es mir ohne sie un-
möglich gewesen wäre, die Relativitätstheorie aufzustellen,
Ohne sie wäre nämlich folgende Erwägung unmöglich ge-
wesen: In einem relativ zu einem Inertialsystem rotierenden
Bezugssystem entsprechen die Lagerungsgesetze starrer
Körper wegen der Lorentz-Kontraktion nicht den Regeln
der euklidischen Geometrie; also muß bei der Zulassung vo))



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Nichtinertialsy Sternen als gleichberechtigten Systemen die
euklidische Geometrie verlassen werden. Der entscheidende
Schritt des Überganges zu allgemein kovarianten Gleichungen
wäre gewiß unterbÜeben, wenn die obige Interpretation nicht
zugrunde gelegen hätte. Lehnt man die Beziehung zwischen
dem Körper der axiomatiscben euklidischen Geometrie und
dem praktisch-starren Körper der Wirklichkeit ab, so gelangt
man leicht zu der folgenden Auffassung, welcher insbeson-
dere der scharfsinnige und tiefe H. Poincare gehuldigt hat:
Von allen anderen denkbaren axiomatiscben Geometrien ist
die euklidische Geometrie durch Einfachheit ausgezeichnet.
Da nun die axiomatische Geometrie allein keine Aussagen
über die erlebbare Wirklichkeit enthält, sondern nur die
axiomatische Geometrie in Verbindung mit physikalischen
Sätzen, so dürfte es — wie auch die Wirklichkeit beschaffen
sein mag — möglich und vernünftig sein, an der euklidischen
Geometrie festzuhalten. Denn man wird sich lieber zu einer
Änderung der physikalischen Gesetze als zu einer Anderung-
der axiomatiscben euklidischen Geometrie entschließen, falls
sich Widersprüche zwischen Theorie und Erfahrung zeigen.
Lehnt man die Beziehung zwischen dem praktisch starren
Körper und der Geometrie ab, so wird man sich in der Tat
nicht leicht von der Konvention freimachen, daß an der
euklidischen Geometrie als der einfachsten festzuhalten sei.
Warum wird von Poincar^ und anderen Forschern die
naheliegende Äquivalenz des praktisch-starren Körpers der
Erfahrung und des Körpers der Geometrie abgelehnt?
Einfach deshalb, weil die wirklichen festen Körper der Natur
bei genauerer Betrachtung nicht starr sind, weil ihr geome-
trisches Verhalten, d. h, ihre relativen Lagerungsmöglich-
keiten, von Temperatur, äußeren Kräften usw. abhängen.
Damit scheint die ursprüngliche, unmittelbare Beziehung
zwischen Geometrie und physikalischer Wirklichkeit zer-



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stört, und maa fühlt sich zu folgender allgemeinerer Auf-
fassung hingedrängt, welche Poincares Standpunkt charak-
terisiert. Die Geometrie (G) sagt nichts über das Verhalten
der wirklichen Dinge aus, soiideni nur die Geometrie zu-
sammen mit dem Inbegriff (P) der physikalischen Gesetze,
Symbolisch können wir sagen, daß nur die Summe (G) -f- (P)
der Kontrolle der Erfahrung unterliegt, Es kann also (G)
willkürlich gewählt werden, ebenso Teile von (P) ; alle diese
Gesetze sind Konventionen, Es ist zur Vermeidung von
Widersprüchen nur nötig, den Rest von (P) so zu wählen,
daß (G) und das totale (P) zusammen der. Erfahrungen
gerecht werden. Bei dieser Auffassung erscheinen die
axiomatische Geometrie und der zu Konventionen erhobene
Teil der Naturgesetze als crkeiintnislheoretisch gleichwertig,

Sub specie aeterni hat Poincare mit dieser Auffassung
nach meiner Meinung Recht, Der Begriff des Meßkörpers
sowie auch der ihm in der Relativitätstheorie koordinierte
Begriff der Meßuhr findet in der wirklichen Welt kein ihm
exakt entsprechendes Objekt. Auch ist klar, daß der feste
Körper und die Uhr nicht die Rolle von irreduzibeln Ele-
menten im Begriffsgebäude der Pliysik spielen, sondern die
Rolle von zusammengesetzten Gebilden, die im Aufbau der
theoretischen Physik keine selbständige Rolle spielen dürfen.
Aber es ist meine Überzeugung, daß diese Begriffe beim
heutigen Entwicklungsstadium der theoretischen Physik
noch als selbständige Begriffe herangezogen werden müssen;
denn wir sind noch weit von einer so gesicherten Kenntnis
der theoretischen Grundlagen entfernt, daß wir exakte theo-
retische Konstruktionen jener Gebilde geben könnten.

Was ferner den Einwand angeht, daß es wirklich stan-c
Körper in der Natur nicht gibt, und daß also die von solchen
behaupteten Eigenschaften gar nicht die physische Wirklich-
keit betreffen, so ist er keineswegs so tiefgehend, wie man



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bei flüclitiger Betrachtung- meinen möchte. Denn es fällt nicht
schwer, den physikalischen Zustand eines Meßkörpers so
genau festzulegen, daß sein Verhalten bezüglich der relativen
. Lagerung zu anderen Meßkörpem hinreichend eindeutig
wird, so daß man ihn für den ,, starren" Körper substituieren
darf. Auf solche Meßkörper sollen die Aussagen über starre
Körper bezogen werden.

Alle praktische Geometrie ruht auf einem der Erfahrung
zugänglichen Grundsatze, den wir uns nun vergegenwärtigen
wollen. Wir wollen den Inbegriff zweier auf einem praktisch-
starren Körper angebrachten Marken eine Strecke nennen.
Wir denken uns zwei praktisch-starre Körper und auf jedem
eine Strecke markiert. Diese beiden Strecken sollen „ein-
ander gleich" heißen, wenn die Marken der einen dauernd
mit den Marken der anderen zur Koinzidenz gebracht
werden können. Es wird nun vorausgesetzt:

Wenn zwei Strecken einmal und irgendwo als gleich
befunden sind, so sind sie stets und überall gleich.

Nicht nur die praktische euklidische Geometrie, sondern
auch ihre nächste VeralJgemeineriing, die praktische Rie-
mannsche Geometrie und damit die allgemeine Relativitäts-
theorie, beruhen auf diesen Voraussetzungen. Von den Er-
fahrungsgründen, welche für das Zutreffen dieser Voraus-
setzung sprechen, will ich nur einen anführen. Das Phä-
nomen der Lichtausbreitung im leeren Raum ordnet jedem
Lokal-Zeit-Tntervall eine Strecke, nämlich den zugehörigen
Lichtweg, zu und umgekehrt. Damit hängt es zusammen,
daß die oben für Strecken angegebene Voraussetzung in der
Relativitätstheorie auch für Uhr-Zeit-Intervalle gelten muß.
Sie kann dann so formuliert werden: Gehen zwei ideale
Uhren irgendwann und irgendwo gleich rasch (wobei sie un-
mittelbar benachbart sind), so gehen sie stets gleich rasch,
unabhängig davon, wo und wann sie am gleichen Orte mit-



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einander verglichen werden. Wäre dieser Satz für die natür-
lichen Uhren nicht gültig, so würden die Eigenfrequenzen
der einzelnen Atome desselben chemischen Elements nicht
so genau miteinander übereinstimmen, wie es die Erfahrung
zeigt. Die Existenz scharfer Spektrallinien bildet einen
überzeugenden Erfahrimgsbeweis für den genannten Grund-
satz der praktischen Geometrie. Hierauf beruht es in letzter
Linie, daß wir in sinnvoller Weise von einer Metrik im Sinne
Riemanns des vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuums
sprechen können.

Die Frage, ob dieses Kontinuum euklidisch oder gemäß
dem allgemeinen Riemannschen Schema oder noch anders
strukturiert sei, ist nach der hier vertretenen Auffassung eine
eigentlich physikalische Frage, die durch die Erfahrung be-
antwortet werden muß, keine Frage bloßer nach Zweck-
mäßigkeitsgrün den zu wählender Konvention. Die Rie-
maiinsche Geometrie wird dann gelten, wenn die Lagerungs-
gesetze praktisch-starrer Körper desto genauer in diejenigen
der Körper der euklidischen Geometrie übergehen, je kleiner
die Abmessungen des ins Auge gefaßten raum-zeitlichen Ge-
bietes sind.

Die hier vertretene physikalische Interpretation der
Geometrie versagt zwar bei ihrer unmittelbaren Anwendung
auf Räume von submolekularer Größenordnung. Einen Teil
ihrer Bedeutung behält sie indessen auch noch den Fragen
der Konstitution der Elementarteilchen gegenüber. Denn
man kann versuchen, denjenigen Feldbegriffen, welche man
zur Beschreibung des geometrischen Verhaltens von gegen
das Molekül großen Körpern physikalisch definiert hat, auch
dann physikalische Bedeutung zuzuschreiben, wenn es sich
um die Beschreibung der elektrischen Elementarteilchen
handelt, die die Materie konstituieren. Nur der Erfolg kann
über die Berechtigung eines solchen Versuches entscheiden.



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der den Grundbegriffen der Rieniann sehen Geometrie über
ihren physikahschen Definitionsbereich hinaus physikalische
Realität zuspricht. Möglicherweise könnte es sich zeigen,
daß diese Extrapolation ebensowenig angezeigt ist wie die-
jenige des Temperaturbegriffes auf Teile eines Körpers von
molekularer Größenordnung.

Weniger problematisch erscheint die Ausdehnung der
Begriffe der praktischen Geometrie auf Räume von kos-
mischer Größenordnung. Man könnte zwar einwenden, daß
eine aus festen Stäben gebildete Konstruktion sich von dem
Starrheitsideal desto mehr entfernt, je größer ihre räumliche
Erstreckung ist. Aber man wird diesem Einwand wohl
schwerlich prinzipielle Bedeutung zuschreiben dürfen.
Deshalb erscheint mir auch die Frage, ob die Welt räumlich
endlich sei oder nicht, eine im Sinne der praktischen Geo-
metrie durchaus sinnvolle Frage zu sein. Ich halte es nicht
einmal für ausgeschlossen, daß diese Frage in absehbarer
Zeit von der Astronomie beantwortet werden wird. Ver-
gegenwärtigen wir uns, was die allgemeine Relativitäts-
theorie in dieser Beziehung lehrt. Nach dieser gibt es zwei
Möglichkeiten,

1. Die Welt ist räumlich unendlich. Dies ist nur
möglich, wenn die durchschnittliche räumliche Dichte der
in den Sternen konzentrierten Materie Jm Welträume ver-
schwindet, d. h. wenn das Verhältnis der Gesamtmasse der
Sterne zur Größe des Raumes, über welchen sie verstreut
sind, sich unbegrenzt dem Werte Null nähert, wenn man
die in Betracht gezogenen Räume immer größer werden läßt.

2. Die Welt ist räumlich endlich. Dies muß der Fall
sein, wenn .es eine von Null verschiedene mittlere Dichte
der ponderablen Materie im Welträume gibt. Das Volumen
des Weltraumes ist desto größer, je kleiner jene mittlere
Dichte ist.



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Ich will nicht unerwähnt lassen, daß ein theoretischer
Grund für die Hypothese von der Endlichkeit der Welt gel-
tend gemacht werden kann. Die allgemeine Relativitäts-
theorie lehrt, daß die Trägheit eines bestimmten Körpers
desto größer ist, je mehr ponderable Massen sich in seiner
Nähe befinden; es erscheint demnach überhaupt nahe-
liegend, die gesamte Trägheitswirkung eines Körpers auf
Wechselwirkung zwischen ihm und den übrigen Körpem
der Welt zurückzuführen, wie ja auch die Schwere seit
Newton vollständig auf Wechselwirkung zwischen den
Körpern zurückgeführt ist. Es läßt sich aus den Gleichun-
gen der allgemeinen Relativitätstheorie ableiten, daß diese
restlose Zurückführung der Trägheit auf Wechselwirkung
zwischen den Massen -— wie sie z. B. E. Mach gefordert
hat — nur dann möglich ist, wenn die Welt räumlich end-
lich ist.

Auf viele Physiker und Astronomen macht dieses Ar-
gument keinen Eindruck. In letzter Linie kann in der Tat
nur die Erfahrung darüber entscheiden, welche der beiden
Möglichkeiten in der Natur realisiert ist; wie kann die Er-
fahrung eine Antwort liefern? Zunächst könnte man
meinen, daß sich die mittlere Dichte der Materie durch Be-
obachtung des unserer Wahrnehmung zugänglichen Teils
des Weltalls bestimmen lasse. Diese Hoffnung ist trüge-
risch. Die Verteilung der sichtbaren Sterne ist eine unge-
heuer unregelmäßige, so daß wir keineswegs wagen dürfen,
die mittlere Dichte der Sternmaterie in der Welt etwa der
mittleren Dichte in der Milchstraße gleichzusetzen. Über-
haupt könnte man — wie groß auch der durchforschte
Raum sein mag — immer argwöhnen, daß außerhalb dieses
Raumes keine Sterne mehr seien. Eine Abschätzung der
mittleren Dichte erscheint also ausgeschlossen.

Es gibt aber noch einen zweiten Weg, der mir eher



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gangbar scheint, wenngleich auch dieser große Schwierig-
keiten bietet. Fragen wir nämhch nach den Abweichungen,
welche die der astronomischen Erfahrung zugänglichen
Konsequenzen der allgemeinen Relativitätstheorie gegen-
über denen der Newtonschen Theorie bieten, so ergibt sich
zunächst eine in großer Nähe der gravitierenden Masse sich
geltend machende Abweichung, welche sich am Merkur
hat bestätigen lassen. Für den Fall, daß die Welt räumücli
endlich ist, gibt es aber noch eine zweite Abweichung von
der Newtonschen Theorie, die sich in der Sprache der iMew-
tonschen Theorie so ausdrücken läßt: Das Gravitationsfeld
ist so beschaffen, wie wenn es außer von den ponderabeln
Massen noch von einer Massendichte negativen Vor-
zeichens hervorgerufen wäre, die gleichmäßig über den Raum
verteilt ist. Da diese fingierte Massendichte ungeheuer klein
sein müßte, so könnte sie sich nur in gravitierenden Systemen
von sehr großer Ausdehnung bemerkbar machen.

Angenommen, wir kennen etwa die statistische Ver-
teilung der Sterne in der Milchstraße sowie deren Massen.
Dann können wir das Gravitationsfeld nach Newtons Ge-
setz berechnen sowie die mittleren Geschwindigkeiten,
welche die Sterne haben müssen, damit die Milchstraße
durch die gegenseitigen Wirkungen ihrer Sterne nicht in
sich zusammenstürze, sondern ihre Ausdehnung aufrecht-
erhalte. Wenn nun die wirklichen Geschwindigkeiten der
Sterne, welche sich ja messen lassen, kleiner wären als die
berechneten, so wäre der Nachweis geführt, daß die wirk-
lichen Anziehungen auf große Entfernungen kleiner seien
als nach Newtons Gesetz. Aus einer solchen Abweichung
könnte man die Endlichkeit der Welt indirekt beweisen
und sogar iJire räumliche Größe abschätzen.

Können wir uns eine dreidimensionale, endliche und
doch grenzenlose Weit anschaulich vorstellen?



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Auf diese Frage wird meist mit „nein" geantwortet,
.■iber mit Unrecht. Dies darzutun, ist der Zweck der fol-
genden Ausführungen. Ich vnll zeigen, daß wir uns ohne
sonderliche Mühe zu der Theorie von der Endlichkeit der
Welt ein anschauliches Bild machen können, in dem wir
uns bei einiger Übung leicht heimisch fühlen.

Zuerst eine Bemerkung erkenntnistheoretischer Art.
Eine geometrisch-physikalische Theorie ist als solche zu-
nächst notwendig unanschaulich, ein bloßes System von Be-
griffen. Aber diese Begriffe dienen dazu, eine Vielheit von
wirklichen oder gedachten sinnlichen Erlebnissen in ge-
danklichen Zusammenbang zu bringen. Eine Theorie „ver-
anschaulichen" heißt also jene Fülle von Erlebnissen zur
Vorstellung bringen, deren schematiSche Ordnung durch
die Theorie geleistet wird. In unserem Falle haben wir
uns zu fragen; Wie läßt sich dasjenige Verhalten fester
Körper in bezug auf ihre gegenseitige Lagerung (Berüh-
rung) vorstellen, das der Theorie von der Endlichkeit der
Welt entspricht? Alles, was ich in dieser Beziehung vor-
zubringen habe, entbehrt eigentlich der Neuheit; aber un-
zählige an mich gestellte Anfragen beweisen mir, daß m
dieser Beziehung dem Bedürfnis der wißbegierigen
Menschen noch nicht vollständig Genüge geleistet ist.
Der Eingeweihte verzeihe deshalb, wenn ich zum TeÜ
längst Bekanntes vorbringe.

Was wollen wir ausdrücken, wenn wir sagen, unser
Raum sei unendlich? Nichts anderes, als daß wir beliebig
viele gleich große Körper aneinander legen könnten,
ohne daß er jemals voll würde. Denken wir uns viele
gleich große würfelförmige Kisten hergestellt, so können
wir sie nach der euklidischen Geometrie so übereinander,
nebeneinander und hintereinander legen, daß ein beliebig
großer Raumteil erfüllt wird; aber diese Konstruktion



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würde nie zu Ende sein; immer neue Würfel ließen sich
außen anlegen, ohne daß je Platzmangel einträte. Dies
wollen wir ausdrücken, wenn wir sagen, der Raum sei un-
endlich. Besser wäre es zu sagen: der Raum ist unendlich
in bezug auf praktisch-starre Körper, vorausgesetzt, daß
die Lagerungsgesetze für die letzteren durch die euklidi-
sche Geometrie gegeben sind.

Ein anderes Beispiel eines unendlichen Kontinuums
ist die Ebene, Auf einer Ebene können wir quadratische
Plättchen aus Karton so nebeneinander anlegen, daß jc-
weilen an alle vier Seiten eines Kartonquadrats je eine
Seite eines Kartonquadrats anliegt. Die Konstruktion
wird nie fertig; immer neue Karton quadrate lassen sich an-
legen — falls deren Lagcrungsgesetze denen ebener Fi-
guren der euklidischen Geometrie entsprechen. Die Ebene
ist also in bezug auf die Kartonquadrate unendlich. Man
sagt demgemäß, die Ebene sei ein unendliches Kontinuum
von zwei Dimensionen, der Raum ein solches von drei Di-
men.^ionen; was hier unter Dimensionszahl verstanden
wird, darf ich wohl als bekannt voraussetzen.

Nun geben wir ein Beispiel eines zweidimensionalen
Kontinuums, das endlich, aber ohne Grenzen ist, Wir
denken uns die Oberfläche eines großen Globus und eine
Menge gleicher kreisrunder kleiner Papierscheibchen. Wir
legen ein solches Scheibchen irgendwo an die Globusober-
fläche an. Verschieben wir es mit dem Finger beliebig
auf der Globusfläche, so stoßen wir bei dieser Reise
nii^ends an eine Grenze. Wir sagen deshalb, die Kugei-
fläche des Globus sei ein unbegrenztes Kontinuum. Die
Kugelfläche ist ferner ein endliches Kontinuum, Klebt
man nämlich solche Papierscheibchen auf den Globus auf,
derart, da3 niemals zwei Scheibchen aufeinander geklebt
werden, so wird die Globusfläche endlich so voll, daß kein



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neues Scheibchen mehr darauf geht; dies bedeutet eben,
daß die Kugeltläche des Globus in bezug auf die Papier-
scheibchen endlich sei. Die Kugclfläche ist ferner ein
nichteuklidisches Kontinuum von zwei Dimensionen, d. h.
die Lagerlingsgesetze für in ihr liegende starre Gebilde
stimmen nicht mit denen der euklidischen Ebene überein.
Dies ist so zu konstatieren. Man lege um ein Kreisscheibchen
sechs Kreisscheibchen im Kreise herum, um jedes dieser
wieder sechs usw. Macht man diese Konstruktion auf der
Ebene, so entsteht auf ihr eine lückenlose Lsgermig, bei
welcher jedes nicht außen liegende Scheibchen von sechs
Scheibchen berührt wird. Auf der Kugelfiäche
scheint die Konstruktion anfangs auch zu ge-
lingen, desto besser, je kleiner der Radius des
Scheibchens gegen den der Kugel ist. Je weiter
die Konstruktion vorschreitet, desto mehr wird
■ '' es offenkundig, daß die Lagerung der Scheibchen
in der angedeuteten Weise nicht lückenlos möglich ist, wie
es gemäß der euklidischen Geometrie der Ebene sein sollte.
Auf diese Weise könnten selbst Wesen, die die Kngelflächc
nicht verlassen können, und die auch nicht aus der Kugel-
fläche heraus in den dreidimensionalen Raum gucken
können durch bloßes Experimentieren mit Scheibchen fest-
stellen, daß ihr zweidimensionaler ,,Raum" kein eukli-
discher sondern ein sphärischer ist.

Nach den letzten Ergebnissen der Relativitätstheorie
ist es wahrscheinlich, daß auch unser dreidimensionaler
Raum ein angenähert sphärischer ist, d. h. daß die Lage-
ningsgesetze starrer Körper in ihm nicht durch die eukli-
dische sondern angenähert durch die sphärische Geometrie
gegeben werden, wenn man nur genügend große Gebiete
der Betrachtung unterwirft. Hier ist nun die Stelle, an
welcher die Anschauung des Lesers revoltiert. ,,Dies kann



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Terlug' von JuIIiin »priiEger in I6e»'|i«i %V«

Die Quantentheorie, ihruraptimgiuiciiin-c liutwickiiiLi^.

Von Privatdozent Dr. Fritz Reiche, Berlin. Mit lüXextabbildungei].
1921. Preis M. 34,—.



Einleitung in die Mengenlehre. Einegemeinver

stündliche Einführung in das Reich dei unendlichen Größen. Von
Dr. Adolf Fraenkel, Privatdozent an der Universität Marburg. Mit
10 Testabbildungen. 1919. Preis M. 10,—,



Das Wesen des Lichts. Vortrag, gehauen in der Haupt-
vevaammiang der Kiuser-WUhelra-Gesellachaft am 28, Oktober 1919.
Von 1' Max Planck, Professor der theoretischen Physik an der Üni-
vcrsii^h Berlin. Zweite, unverändert« Auflage. 1920. Preis M. 3,60.



Val( azkräfte und Röntgenspektren, zwei

Aufsätze über das Elektronengehände des Atoms. Von Prof, Dr.
W. Kossel, Kiel. Preis etwa M. 10,- .

Die radioaktive Strahlung als Gegenstand

wahrscheinlichkeitstheoretischer Unter-
suchungen. Vor. I'rofn^^or L. V. Borlkiewicz. Mit f, Text-
abbild an gen. UM,-'. Preis M. 4.— .

Die Iterationen. Ein Beitrag zur Wahrscheinllchkeitstheorio.
Voii Professor L. v. Boriklewicz, Berlin. 1917. Preis M. 10,—.

Tafeln und Formeln aus Astronomie und

Geodäsie für die Hand des Forschungsreisen den, Geographt .,
Astronomen und Geodäten. Von Dr. Carl Wirtz, Universitätsprofessur
in Straßburg i. E. 1Ö18. Gebunden Preis M. 18,—.

Felix Klein, Gesammelte mathematische

Abhandlungen. (Von f. Kleln mit ergänzenden Zusätzen
versehen.) jiand 1: Uniengeometne — Grundlegung der Geometrie --
Zum Erlanger Programtti. Herausgegeben von R, Fricke und
A. Ostrowski. Mit einem Bildnis. 1921. Preis M. 186,-.

Hierzu Teiierungszuschliige,



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