수학적 등식은 보편적으로 유효한가

 

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                        수학적 등식은 보편적으로 유효한가

 

더 중요한 것은 두 번째 의미에서의 적용이다. 이 의미에서 ‘2 + 2 = 4’는, 누군가가 두 개의 사과를 바구니에 넣고 다시 두 개를 넣고, 바구니로부터 사과를 꺼내지 않으면, 바구니 안에 네 개의 사과가 있을 것임을 의미한다고 생각될 것이다. 이 해석에서 ‘2 + 2 = 4’라는 서술은 특정한 물리적 사실들을 계산하는 데, 다시 말해서 기술(記述)하는 데 우리에게 도움을 주며, ‘+’라는 부호는 물리적인 조작을 ㅡ 특정한 것들을 다른 것들에 물리적으로 보태는 것을 ㅡ 의미한다. (여기서 우리는 현상적으로 논리적인 상징을 기술적[記述的]으로 해석하는 일이 때때로 가능함을 안다.) 그러나 이 해석에서 ‘2 + 2 = 4’라는 서술은 논리적 이론이라기보다는, 물리적 이론이 된다; 그래서 결과적으로, 우리는 그 서술이 보편적으로 참인지를 확신할 수 없다. 사실상, 그 서술은 보편적으로 참이 아니다. 그 서술은 사과들에 관해서는 유효할 것이지만, 토끼들에 관해서는 유효하지 않다. 여러분이 2 + 2마리의 토끼들을 바구니에 넣으면, 곧 여러분은 7내지 8마리의 토끼를 발견할 것이다. 또한 그 서술은 물방울과 같은 것들에도 적용될 수 없다. 여러분이 물방울 2 + 2를 마른 플라스크에 넣는다면, 여러분은 그 플라스크로부터 물방울 넷을 꺼내지 못할 것이다. 다시 말해서, 여러분이 ‘2 + 2 = 4’가 적용될 수 없는 세상이 어떤 것인지 의아해한다면, 여러분의 호기심을 만족시키는 일은 쉽다. 성(性)이 다른 몇 마리의 토끼나 물 몇 방울은 그런 세상에 대하여 모형으로서 역할을 할 것이다. 토끼들과 물방울들에 무슨 일이 발생했기 때문에, 그리고 ‘2 + 2 =4’라는 등식이 아무 일도 발생하지 않는 대상에 적용될 뿐이기 때문에 여러분이 이 사례들이 공평하지 못하다고 답변한다면, 나의 답변은 여러분이 그 등식을 이런 식으로 해석한다면 그 등식은 ‘실재’에 대하여 유효하지 않고 (이유인즉 ’실재‘에서 어떤 일이 항상 발생하기 때문이다) 아무 일도 발생하지 않는 두드러진 대상들에 대한 추상적인 세상에 대해서만 유효하다 이다. 우리의 실재적 세상이 그런 추상적인 세상을 닮는 정도까지, 예를 들어 우리의 사과들이 썩지 않거나 매우 천천히만 썩는 정도까지, 혹은 우리의 토끼들이나 악어들이 새끼를 낳기 시작하지 않는 정도까지 그 등식은 명백하다; 다시 말해서 물리적 상황이 순전히 논리적이거나 산술적인 덧셈 조작을 닮은 정도까지, 물론 산술이 적용될 수 있는 동일한 정도까지 그 등식은 명백하다. 그러나 이 서술은 하찮다.

 

ㅡ 칼 포퍼, “추측과 논박, 과학적 지식의 성장”, 1989년, 211-212쪽 ㅡ

 

More important is the application in the second sense. In this sense, '2 + 2 = 4' may be taken to mean that, if somebody has put two apples in a certain basket, and then again two, and has not taken any apples out of the basket, there will be four in it. In this interpretation the statement '2 + 2 = 4' helps us to calculate, i. e. to describe certain physical facts, and the symbol '+' stands for a physical manipulation - for physically adding certain things to other things. (We see here that it is sometimes possible to interpret an apparently logical symbol descriptively.1) But in this interpretation the statement '2 + 2 = 4' becomes a physical theory, rather than a logical one; and as a consequence, we cannot be sure whether it remains universally true. As a matter of fact, it does not. It may hold for apples, but it hardly holds for rabbits. If you put 2 + 2 rabbits in a basket, you may soon find 7 or 8 in it. Nor is it applicable to such things as drops. If you put 2 + 2 drops into a dry flask, you will never get four out of it. In other words, if you wonder what a world would look like in which '2 + 2 = 4' is not applicable, it is easy to satisfy your curiosity. A couple of rabbits of different sexes or a few drops of water may serve as a model for such a world. If you answer that these examples are not fair because something has happened to the rabbits and to the drops, and because the equation

 

1 This bears on some fundamental problems discussed by Tarski in his Logic, Semantics, Mathematics (ch. 16) and by Carnap in his Introduction to Semantics.

 

'2 + 2 = 4' only applies to objects to which nothing happens, then my answer is that, if you interpret it in this way, then it does not hold for 'reality' (for in 'reality' something happens all the time) but only for an abstract world of distinct objects in which nothing happens. To the extent, it is clear, to which our real world resembles such an abstract world, for example, to the extent to which our apples do not rot, or rot only very slowly, or to which our rabbits or crocodiles do not happen to breed; to the extent, in other words, to which physical conditions resemble the pure logical or arithmetical operation of addition, to the same extent, of course, does arithmetic remain applicable. But this statement is trivial.