이론의 논리성 내용과 정보성 내용

이론의 논리성 내용과 정보성 내용.hwpx

0.09MB

 

이론의 논리성 내용과 정보성 내용

 

주로 직관적으로 매우 다르지만, 논리적으로 거의 동일한 내용에 대한 두 가지 관념이 사용되고 있는데 나는 그 관념들을 때때로 “논리성 내용” 및 “정보성 내용”으로 지칭했다; 후자(後者)의 특별한 경우를 나는 또한 “경험적 내용”으로 지칭했다.

서술이나 이론의 논리성 내용은, 타스키(Tarski)가 서술이나 이론의 “결론 집합”으로 지칭한 것과 동일시될 것이다; 다시 말해서, 이론의 서술로부터 도출될 수 있는 모든 결론의 (항진명제[恒眞命題: tautology]가 아닌) 집합.

정보성 내용에 (내가 그것을 지칭한 바와 같이) 대하여, 서술이나 이론이 “그 서술이나 이론이 많이 금지할수록” 혹은 배제할수록 그만큼 더 많은 것을 우리에게 알려준다는 직관적 관념을 우리가 고려해야 한다. 이 직관적 관념으로 인하여, 특정 사람들에게 터무니없이 보였을 정보성 내용의 정의(定義: definition)가 발생한다: 이론의 정보성 내용은, 이론과 양립될 수 없는 서술의 집합이다.

그러나 이 집합의 원소들과 논리성 내용의 원소들이 일-대(對)-일 관계를 이룬다는 것은 즉각 알려질 것이다: 집합 중 한 집합에 있는 모든 원소에 대하여 다른 집합에 대응하는 원소, 즉 그 원소에 대한 부정이 있다.

그리하여 우리는, 이론에 있는 논리적 강도(强度: strength)나 힘 혹은 정보의 양이 증가하거나 감소할 때마다 그 이론의 논리성 내용이나 정보성 내용이 틀림없이 모두 증가하거나 감소함을 발견한다. 이것으로 인하여 두 가지 관념 모두가 매우 유사함이 밝혀진다: 한 가지에 관하여 언급될 수 있는 것과 나머지 한 가지에 관하여 언급될 수 있는 것 사이에 1-대(對)-1 대응관계가 성립한다. 이것으로 인하여 정보성 내용이라는 나의 정의(定義: definition)가 아주 터무니없지 않음이 밝혀진다.

그러나 차이점도 있다. 예를 들어 논리성 내용에 대하여 다음 변환의 규칙(rule of transitivity)이 성립한다: b가 ɑ의 내용의 원소이고 c가 b의 내용의 원소라면 c는 ɑ의 내용의 원소이기도 하다. 물론 정보성 내용에 대하여 상응하는 규칙이 존재할지라도, 그것은 이처럼 단순한 변환 규칙이 아니다.

게다가 여하한 서술의 (항진명제적[恒眞命題的: tautological]이 아닌) ㅡ 가령, 한 이론 t ㅡ 내용은 무한하다. 이유인즉 서술 ɑ, b, c의 무한 목록이 있도록 하고 그 서술들은 짝을 지으면 모순이 되고 개별적으로는 t를 함유하지 않기 때문이다. (t의 대부분에 대하여, ɑ: “행성들의 숫자는 0이다”, b: “행성들의 숫자는 1이다” 같은 것, 등등이 합당할 터이기 때문이다.) 그렇다면 “t나 ɑ 아니면 두 가지 모두”라는 서술은 t로부터 연역될 수 있고 그리하여 t의 논리성 내용에 속한다; 그리고 b와 목록에 있는 여하한 다른 서술에도 동일한 것이 성립한다. ɑ, b, c,...,에 관한 우리의 전제로부터, “t나 ɑ 아니면 두 가지 모두”, “t나 b 아니면 두 가지 모두”라는 수열에 대한 서술의 쌍은 상호 연역될 수 없을 따름이라고 밝혀진다; 다시 말해서 이 서술 중 어떤 서술도 다른 서술을 함유하지 않는다. 그리하여 t의 논리성 내용은 틀림없이 무한하다.

비-항진명제적(非-恒眞命題的: nontautological) 이론의 논리성 내용에 관한 이 기초적 결과는 물론 잘 알려져 있다. 그 논증은, 논리적 (배타적이지 않은)“혹은”을 이용하는 가치 없는 연산에 근거하기 때문에, 가치가 없다; 그래서 우리는 아마도, t를 약하게 만드는 무가치한 방법의 결과인 “t나 ɑ 아니면 두 가지 모두”와 같은 저 서술에 순전히 의존하여 내용의 무한성이 완전히 무가치한 일인지 의심할 것이다. 그러나 정보성 내용을 통하여, 문제가 보이는 것처럼 아주 무가치하지는 않다는 것이 즉각 분명해진다.

이유인즉 고찰되는 이론을 뉴튼의 중력이론으로 하라; 그 이론을 N으로 부르라. 그렇다면 N과 양립될 수 없는 서술이나 이론은 N의 정보성 내용에 속할 것이다. 아인슈타인의 중력이론을 E라고 명명하자. 두 이론이 서로 양립될 수 없기 때문에, 각 이론은 다른 이론의 정보성 내용에 속한다; 각 이론은 다른 이론을 배제하거나 금지한다.

이것으로 인하여, 한 이론 t의 정보성 내용이 매우 직관적 방식으로 전혀 무가치하지 않은 정도로 무한함이 밝혀진다: t와 양립될 수 없는 이론과 그리하여 어느 날 t를 대체할 (가령, 어떤 결정적 실험이 t와 반대되는 결정을 내린 다음에) 어떤 미래 이론은 분명히 t의 정보성 내용에 속한다. 그러나 꼭 마찬가지로 분명히, 우리는 이 이론을 미리 알 수도 없고 구축할 수도 없다: 뉴튼은 아인슈타인이나 아인슈타인의 후계자를 미리 알 수 없었다.

물론 다소 덜 직관적일지라도, 논리성 내용에 관하여 정확하게 유사한 상황을 발견하기는 지금 쉽다: E가 N의 정보성 내용에 속하기 때문에, 비(非)-E는 N의 논리성 내용에 속한다: 비(非)-E는 N에 의하여 수반되는데, E가 발견되기 전에 분명히 뉴튼이나 다른 사람에게 또한 알려질 수 없었던 사실이다.

ㅡ 칼 포퍼, ‘끝없는 탐구(Unended Quest)’, 1993년, 26-7쪽 ㅡ