추측과 논박 제 9장 논리와 산술의 계산법은 왜 실제에 적용될 수 있는가?

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논리와 산술의 계산법은 왜 실재에 적용될 수 있는가?

 

라일(Ryle)교수는 자신의 기고문?을 논리 규칙들의 적용가능성에, 더 정확하게, 추론의 논리적 규칙에 국한시켰다. 나에게는 그것에서 그를 따를, 그리고 단지 그 후에는 토론을 논리적이고 산술적인 계산법의 적용에 확대할 의도가 있다. 내가 방금 추론의 논리적 규칙과 (명제[命題] 계산법이나 집합 계산법이나 관계 계산법과 같은) 소위 논리적 계산법을 구분한 것에는, 그러나, 해명이 필요하여, 나는 우리 앞에 놓인 두 가지 주요 문제인 추론 규칙의 적용 가능성에 관한 문제와 (2부에서), 논리적 계산법의 적용 가능성에 관한 문제를 (8부에서) 다루기 전에, 1부에서 추론 규칙과 계산 규칙 사이 연관성뿐만 아니라, 그 구분을 토론할 것이다.

나는 라일 교수의 논문에서 나온, 그리고 그의 아리스토텔레스 학회의 의장 연설 방법을 알기와 사실을 알기(Knowing How and Knowing That) (1945년)? 에서 나온 몇 가지 개념들에 대하여 언급하여 그 아이디어들을 이용할 것이다.

 

I

어떤 언어로, 가령 영어로 언명된 논증이나 추론의 간단한 보기를 고찰하자. 그 논증은 일련의 서술로 구성될 것이다. 우리는 아마도 누군가가 다음과 같이 논증한다고 상정(想定)할 것이다: ‘레이첼(Rachel)은 리처드의 어머니이다. 리처드는 로버트의 아버지이다. 아버지의 어머니는 친할머니이다. 그리하여 레이첼은 로버트의 친할머니이다.’

 

? 라일 교수가 이 토론에 기고한 것은 나의 논문을 이해하는 데에 필요한 한 나의 논문 속에 요약되었다.

? 아리스토텔레스의 분석론 후서(An. Post.), ii, 19; 100a, 8 참조.

이것은 1946년 맨체스터(Manchester)에서 정신 협회(Mind Association)와 아리스토텔레스 학회의 공동 회의에서 개최된 심포지엄의 세 번째 논문이다. 이 논문은 아리스토텔레스 학회보 보충본 20호 속에 실림. 최초의 발표자는 길버트 라일(Gilbert Ryle) 교수였다. C. 레비(Lewy) 박사는 두 번째 발표자였지만, 그의 기고문은 너누 늦게 와서 나의 논문에서 토론될 수 없었는데, 그 논문의 첫 문단은 여기서 생략되었다.

 

마지막 문장의 ‘그리하여(thus)’라는 단어는 자신의 논증이 확정적, 즉 유효하다고 화자(話者)가 주장하는 표시로서 간주될 것이다; 혹은 다시 말해서, 마지막 서술이 (결론) 앞의 세 가지 서술로부터 (전제들) 유효하게 도출되었다는 표시. 이 주장에서 화자(話者)는 옳거나 틀릴 것이다. 그가 이런 종류의 주장에서 보통 옳다면, 그는 자신이 논증을 하는 방법을 알고 있다고 말할 수 있다. 그리고 말로써 (논증을 하는 방법을 알고 있는 다른 사람들과 공동으로) 자신이 준수하는 과정의 규칙을 우리에게 설명하는 능력 없이도 논증을 하는 방법을 그는 알고 있을 것이다; 피아노 연주가가 훌륭한 연주의 기초를 이루는 과정에 관한 규칙을 설명하는 능력 없이도 잘 연주하는 방법을 알 것과 꼭 마찬가지로. 사람이 과정에 관한 규칙을 항상 인식하지 않고도 논증하는 방법을 안다면, 그가 ‘직감적으로’ 논증을 하거나 추론을 한다고 우리는 보통 말한다. 그리고 우리가 이제 위의 논증을 정독한다면, 그 논증이 유효하다고 우리는 직감적으로 말할 수 있을 것이다. 우리들 대부분이, 지적된 의미에서, 대체로 직감적으로 추론을 한다는 데에 의심의 여지가 없다. 평범한 직감적인 논증의 기초를 이루는 과정에 관한 규칙을 공식화하고 토론하는 것은 다소 전문화되고 정교한 종류의 연구이다; 그것은 논리학자에게 고유한 일이다. 합당하게 지성을 갖춘 모든 사람은 논증을 하는 방법을 알고 있는 - 논증이 너무 복잡해지지 않는다는 조건으로 - 반면, 이 논증 수행의 기초를 이루고 있어서 우리가 ‘추론에 관한 규칙들’이라고 부를 규칙들을 공식화할 수 있는 사람들은 거의 없다; 특정한 추론 규칙이 유효하다는 것을 알고 있는 사람은 거의 없다 (그리고 그 이유를 알고 있는 사람은 아마도 더 적다).

위에 언급된 논증의 기초를 이루는 추론에 관한 특정한 규칙은, 변수와 몇 가지 다른 인위적 기호를 이용하여, 이와 같은 도식에 의하여 공식화될 수 있다:?

형태의 세 가지 전제로부터

'x R y'

'y S z'

'R 'S = T'

도출될 형태의 결론: 'x T z'

여기서, ‘x', 'y', 그리고 'z' 대신에 개체의 고유명이 대체될 것이다, 그리고 'R', 'S', 그리고 'T' 대신에 개체 사이의 관계 이름이 대체될 것이다; 'x R y', 기타 등등 대신에 x와 y, 기타 등등 사이에서 R이 유효하다고 주장하는 여하한 서술이 대체될 것이다; 'R 'S' 대신에, x R y 그리고 y S z가 되도록 y가 존재한다면, 그리고 그 조건만이라면, x와 z 사이에서 유효한 여하한 관계 이름이 대체될 것이다; 그리고 '='는 여기서 관계 사이에서 외연의 동등함을 표현한다.

이 추론 규칙은 특정 종류나 형태의 서술들에 대하여 주장을 한다는 것이 주시되어야 한다. 이 사실은 다음과 같은 계산법 (이 경우에, 관계의 계산법) 공식으로부터 그 규칙을 명확하게 구분한다:

‘모든 R, S, 및 T에 대하여; 그리고 모든 x, y, 및 z에 대하여: x R y와 y S z 및 R 'S = T라면, x T z이다.'

이 공식에는, 의심할 바 없이, 우리의 추론 규칙에 대하여 어떤 유사점이 있다; 사실상, 우리의 추론 규칙과 상응하는 것은 (관계의 계산법 속의) 그 서술이다. 그러나 그것은 동일하지 않다: 추론의 규칙이 특정 종류의 모든

 

? 그런 도식을 공식화 하는 최상의 방법은, 내가 믿기에, 콰인(Quine)의 ‘준-인용(quasi-quotation)’을 이용하는 방법이다; 그러나 나는 여기서 콰인의 표기법을 소개하지는 않겠다.

 

서술에 관하여, 무조건적으로, 어떤 것을 주장하는 - 즉, 특정 형태의 모든 서술은, 무조건적으로, 또 다른 형태의 한 조의 서술들로부터 연역될 수 있다고 - 반면, 그것은 특정 종류의 모든 관계나 개체들에 대하여 조건적으로 어떤 것을 주장한다.

유사한 방식으로, 우리는, 예를 들어, 전통적 논리의 (Barbara라고 불리는) 추론 규칙:

'M a P'

'S a M'

'S a P'

과 집합 계산법 공식 ‘M a P와 S a M이면, S a P이다’, (혹은 약간 더 현대적인 표기로: ‘만약 c ⊂ b이고 a ⊂ c이면, a ⊂ b이다’)를 구분해야 한다; 혹은 ‘명제 논리의 추론 원리’나 전건 긍정식(modus ponendo ponens)으로 불리는 추론의 규칙:

p

p이면 q

q

와 명제 계산법의 공식: ‘만약 p이고, p이면 q이고 q이다’를 구분해야 한다.

잘 알려진 모든 추론 규칙에, 몇 가지 잘 알려진 계산법의 논리적으로 참인 가설적이거나 조건적인 공식이 - 라일 교수가 ‘논리학자의 가설적인 것’이라고 이 공식들을 지칭하는 바와 같이 - 상응한다는 사실은 추론의 규칙들과 상응하는 조건적 공식들 사이에서 혼란을 낳았다. 그러나 중요한 차이점들이 있다. (1) 추론의 규칙들은 항상 서술들에 관한, 혹은 서술들의 집합에 (그것들은 ‘상위-언어적[meta-linguistic]’이다) 관한 서술들이다; 그러나 계산법 공식은 그렇지 않다. (2) 추론의 규칙들은 연역가능성에 대한 무조건적 서술이다; 그러나 상응하는 계산법 공식들은 조건적이거나 가설적인 ‘...라면, 그렇다면...이다’의 서술들이며 그 서술들은 연역가능성이나 추론, 혹은 전제나 결론들을 언급하지 않는다. (3) 추론 규칙은, 변항들을 상수(常數)로 갈음한 다음에, 특정 논증에 관하여 어떤 것을 - 규칙의 ‘준수’ - 즉, 이 논증은 유효하다고 - 주장한다; 그러나 가설적 형태로 보기로서 ‘그것이 탁자이면, 그것은 탁자이다’나 ‘모든 사람들이 죽는다면, 모든 그리스인은 사람들이고 그렇다면 모든 그리스인은 죽는다’일지라도, 상응하는 공식은, 갈음 이후에, 논리적으로 진부한 표현, 다시 말해서 ‘모든 탁자는 탁자이다’와 같은 그런 서술을 낳는다. (4) 추론의 규칙은 전제들에 따라서 공식화되는 저 논증들 안에서 전제들로서 사용되는 적이 없다; 그러나 상응하는 공식들은 이런 방식으로 사용된다. 사실상 논리적 계산법을 구축하는 데서 주요 동기중 하나는 이것이다: ‘논리학자의 가설적인 것들’을 (다시 말해서 특정 추론 규칙에 상응하는 저 가설적인 진부한 표현들) 전제로서 사용함으로써, 우리는 상응하는 추론 규칙을 폐지할 수 있다. 이 방법으로써 우리는 모든 다양한 추론 규칙들을 - 위에 언급된 ‘추론의 원리’ 하나를 (혹은 그럼에도 불구하고 회피될 수 있는 ‘갈음의 원리’를 우리가 이용한다면, 둘) 제외하고 - 배제할 수 있다. 다시 말해서 논리적 계산법을 구축하는 방법은 방대한 숫자의 추론 규칙들을 체계적으로 하나로 (혹은 둘) 환원시키는 방법이다. 다른 모든 추론 규칙들은 계산법의 공식들에 의하여 점유된다; 이것은 이 모든 공식들이 - 사실상 무한 숫자 - 반대로 극소수의 공식들로부터 체계적으로 추론될 (‘추론의 원리’를 사용하여) 수 있는 이점을 지니고 있다.

잘 알려진 추론 규칙들 각각에 대하여 잘 알려진 논리적 계산법 안에 주장된 (혹은 증명될 수 있는) 공식이 존재함을 우리는 지적했다. 그 반대는 일반적으로 참이 아니다 (그 반대가 가설적 공식들에 대해서는 참이라 할지라도). 예를 들어, ‘p 또는 ~p’이라는 공식에 대하여; 혹은 ‘~(p 그리고 ~p)’에 대하여; 그리고 가설적이지 않은 많은 다른 것들에 대하여, 상응하는 추론 규칙이 존재하지 않는다.

그리하여 추론의 규칙들과 논리적 계산법의 공식들은 신중하게 구분되어야 한다. 그러나 이것으로 인하여 우리가 이 공식들의 특정 부분-집합을 - ‘논리학자의 가설적인 것들’ - 추론의 규칙들로서 해석하는 것을 못할 필요는 없다. 사실상 그런 모든 가설적 공식들에 추론의 규칙이 상응한다는 우리의 주장은 그런 해석을 정당화한다.

 

II

이 다소 전문적인 서론 이후에, 우리는 이제 라일 교수가 다음 질문을 다루는 데로 선회한다: ‘왜 추론의 규칙들은 실재에 적용될 수 있는가?’ 이 질문은 우리가 지닌 원래의 질문에서 중요한 역할을 형성하는데, 그 이유는 논리적 계산 공식의 특정 부분-집합이 (다시 말해서, 라일 교수가 ‘논리학자의 가설적인 것들’이라고 부르는 것들) 추론의 규칙들로서 해석될 수 있기 때문이다.

라일 교수의 핵심적 주장은, 내가 라일 교수를 바르게 이해한다면, 이것이다. 논리의 규칙들, 즉 더 정확하게, 추론의 규칙들은 과정의 규칙들이다. 이것은 그 규칙들이, 사물이나 사실들에게 보다는, 특정 과정들에 적용됨을 의미한다. 그 규칙들은, 우리가 ‘실재(reality)’로써 예를 들어 과학자들과 역사학자들에 의하여 기술(記述)되는 사물이나 사실들을 의미한다면, 실재에 적용되지 않는다. 그 규칙들은 기술(記述)이, 가령 사람에 관하여, 기술(記述)되는 사람이나 어떤 다른 사람에게 적용되거나 - 혹은 들어맞을 - 것이라는 의미에서 ‘적용되지’는 않는다; 혹은 예를 들어 원자핵 공명 흡수에 대한 기술적(記述的) 이론이 우라늄 원자들에 적용될 - 혹은 들어맞을 - 것이라는 의미에서. 논리적 규칙들은, 오히려, 도로교통법들이 자전거를 타거나 자동차를 모는 과정에 적용되는 방식에 비교될 수 있게, 추론하는 과정에 적용된다. 논리적 규칙들은 준수되거나 위반될 수 있어서, 그 규칙들을 적용한다는 것은 그 규칙들이 들어맞도록 만드는 것이 아니라 그 규칙들을 준수한다는 것, 그 규칙에 따라서 행동한다는 것을 의미한다. ‘왜 논리의 규칙들은 실재에 적용될 수 있는가?’라는 질문이 잘못 의도되어 ‘왜 논리의 규칙들은 우리 세상의 사물과 사실에 들어맞을까?’를 의미한다면 답변은, 논리의 규칙에 대하여 그 규칙들이 ‘세상의 사실들에 들어맞는다’거나 ‘세상의 사실에 들어맞지 않는다’고 단언하는 것이 불가능한 반면, 그 규칙들은 사실에 들어맞을 수도 있고 들어맞기도 한다고 그 질문이 상정(想定)하는 것이리라. 간선도로의 표지에 대해서나 체스의 규칙에 대하여 그런 것을 단언하는 것이 가능하지 않은 것처럼 이것도 가능하지 않다.

그리하여 우리의 문제는 사라지는 듯하다. 비논리적 세상이 어떠할지 상상하려고 헛되이 노력하면서, 왜 추론 규칙들이 세상에 적용되는지를 의아해 하는 사람들은 애매성의 희생자들이다. 추론 규칙들은 과정적 규칙들이거나 수행 규칙들이어서, ‘들어맞는다’는 의미에서 ‘적용될’ 수 없고 준수된다는 의미에서만 ‘적용될’ 수 있다. 그리하여 그 규칙들이 적용되지 않는 세상은 비논리적 세상이 아니라, 비논리적인 사람들로 채워진 세상이리라.

이 분석은 (라일 교수의 것인데) 나에게 참이어서 중요하게 보이며, 우리의 문제에 대한 해답이 발견될 수 있는 방향을 지적할 것이다. 그러나 나는 그 분석이 본질적으로 해답을 제공하는 데에 만족감을 느끼지 않는다.

그 입장은 이런 방식으로 나에게 보인다. 라일 교수의 분석은 문제를 해석하는 한 가지 방식이 그 문제를 어불성설이나, 사이비-문제로 환원하는 것임을 보여준다. 이제 나는 여러 해 동안 문제를 사이비-문제로 환원하는 것에 쉽게 만족하지 않는 것을 과정에 대한 개인적인 규칙으로 만들었다. 누군가가 문제를 사이비-문제로 만드는 데에 성공할 때마다, 사람들이 원래 문제에 대한 또 다른 해석을 - 가능하다면, 사이비-문제와 별도로 원래 문제 뒤에 실재적 문제가 또한 있다는 것을 밝히는 해석 - 밝힐 수 있는지를 나는 항상 자문한다. 많은 경우에 이 과정에 대한 규칙은 결실이 있었고 성공적이었음을 나는 발견했다. 나는 원래 문제를 사이비-문제로 환원하려고 애쓰는 분석은 흔히 매우 귀중할 것임을 나는 철저히 인정한다; 그 분석은 혼돈된 사고의 위험이 있음을 드러내어 우리가 실재적 문제를 발견하는 데에 자주 도움을 줄 것이다. 그러나 그 분석은 문제를 해결하지는 않는다. 이 모든 것은 여기서도 같은 경우라고 나는 믿는다.

 

III

논리의 (혹은 추론의) 규칙들이 과정에 대한 규칙이어서, 그 자신이 지적하는 바와 같이, 그 규칙들이 과정에 대하여 훌륭하거나 쓸모가 있거나 도움이 되는 것으로서 간주되리라는 라일 교수의 견해를 나는 수용한다. 이제 나는 ‘왜 논리의 규칙들이 실재에 적용될 수 있는가?’라는 문제가 아마도 ‘왜 논리의 규칙들이 과정에 대한 훌륭하거나 쓸모가 있거나 도움이 되는 규칙들인지?’를 의미하는 것으로 해석될 것임을 제안한다.

이 해석이 정당화될 수 있음은 부인될 수 없다. 논리의 규칙들을, 라일 교수가 말하는 바와 같이 그 규칙들에 따라서 자신이 행동하거나 그 규칙들을 준수한다는 의미에서, 적용하는 사람은 그 규칙들이 실제에서 유용함을 발견하기 때문에 아마도 그렇게 한다. 그러나 이것은, 궁극적으로, 실재적 상황들, 다시 말해서 실재를 다루면서 그 규칙들이 유용함을 자신이 발견함을 의미한다. 우리가 ‘왜 이 규칙들은 유용한가?’라고 묻는다면, 우리는 ‘왜 그 규칙들이 적용될 수 있는가?’라는 질문과 매우 유사한 것을 물어서, 내가 믿기에, 그 유사점은 이것이 원래 질문자가 염두에 두고 있었던 것이리라는 주장에 관하여 충분하다. 다른 한 편으로, 우리의 질문이 사이비-질문임이 끝남에 대하여 더 이상의 의심의 여지가 없다.

 

IV

우리의 질문은 비교적 쉽게 답변될 수 있다고 나는 믿는다. 논리 규칙들을 준수하는 것이 유용함을 발견하는 사람은 추론을 도출하는 사람임을 우리는 보았다. 다시 말해서, 그는, ‘전제들’이라고 불리는 사실들에 대한 어떤 서술이나 기술(記述)로부터 ‘결론들’이라고 불리는 사실들에 대한 다른 서술이나 기술(記述)을 얻는다. 그래서 그는, 의식적으로든 직감적으로든 논리의 규칙들을 준수할 때마다 전제들이 참이라면 결론이 참일 것임을 발견하기 때문에, 과정이 유용함을 발견한다. 다시 말해서, 그는, 자신의 원래 정보가 믿을 수 있고 귀중하다면, 믿을 수 있는 (그리고 아마도 귀중한) 간접적 정보를 얻을 수 있을 것이다.

이것이 올바르다면, 우리는 우리의 질문 ‘왜 논리의 규칙들은 훌륭한 과정의 규칙들인가?’는 또 다른 질문, 즉, ‘추론의 논리적 규칙들은, 전제가 참이라면, 항상 참인 결론을 낳는다는 사실에 대한 설명은 무엇인가?’로 갈음해야 한다.

 

V

나는 이 질문도 역시 비교적 쉽게 답변될 수 있다고 믿는다. 말하는 것을 배워서, 사실을 기술(記述)할 목적으로 우리의 언어를 사용하는 것을 배운 다음에, 우리는 곧 ‘추론(reasoning)’이나 ‘논증(arguing)’이라고 불리는 과정에, 다시 말해서 우리의 원래 정보 속에 명시적으로 기술(記述)되지 않은 어떤 종류의 부차적 정보를 습득하는 직감적 과정에 다소 익숙해진다. 이 직감적 과정의 한 부분은 추론의 규칙을 통하여 분석될 수 있다. 이 규칙들의 공식화가 논리학의 주요 과제이다.

따라서 우리의 전제들이 참이라면, 논리학자의 추론 규칙을 준수하면 우리가 참인 결론을 얻는다고 보증한다는 조건으로, 그리고 그 조건만으로, 논리학자의 추론 규칙은 정의(定義)에 의하여 훌륭하거나 ‘유효한’ 추론규칙이라고 우리는 확정할 것이다. 그래서 참인 전제들로부터 거짓 결론을 - 나는 이것을 ‘반례(反例: counter example)’라고 부른다 - 우리가 얻도록 하는 제시된 규칙의 준수를 우리가 발견하는 데에 성공한다면, 우리는 이 규칙이 무효라는 데에 만족한다. 다시 말해서 이 추론의 규칙에 대한 반례가 존재하지 않는다는 조건으로, 그 조건만으로 우리는 추론의 규칙이 ‘유효하다(valid)’고 부른다; 그래서 우리는 반례가 하나도 존재하지 않는다고 확정할 수 있을 것이다. 유사하게, 준수되는 규칙에 대한 반례가 존재하지 않는다는 조건으로, 그 조건만으로 우리는 추론의 규칙 준수가 - 다시 말해서 추론 - ‘유효하다(valid)’고 부른다.

그리하여 ‘훌륭한’ 즉, ‘유효한’ 추론 규칙은 반례가 발견될 수 없기 때문에, 다시 말해서 사실에 대하여 참인 기술(記述)로부터 사실에 대하여 참인 기술(記述)로 이끄는 과정에 대한 규칙으로서 우리가 그 규칙에 의지할 수 있기 때문에, 유용하다. 그러나 우리가 참인 기술(記述)에 대하여 그 기술(記述)이 사실에 들어맞는다고 말할 수 있기 때문에, ‘들어맞기’의 의미에서 ‘적용’은 어떤 간접적인 방식으로 결국 우리의 분석에 정말로 영향을 미친다. 그 까닭은 추론의 규칙들이, 사실에 들어맞는 기술(記述)로 시작하는 추론 규칙들에 대한 모든 준수가 똑 같이 사실에 들어맞는 기술(記述)을 낳은 것으로 의지될 수 있는 한, 사실에 적용된다고 우리가 말할 수 있기 때문이다.

참인 전제들로부터 나온 유효한 추론이 변함없이 참인 결론을 낳는다는 원리가 지닌 근본적인 중요성은 아리스토텔레스에 의하여 (분석론 전서 [Anal. Prior.], II, 1-4) 어느 정도 자세하게 토론되었음은 아마도 흥미롭다.

 

VI

이 결과가 유용한지를 알기 위하여 나는 그 결과를 논리의 본성에 관한 세 가지 주요 관점에 대한 비판에 적용하려고 노력하겠다. 내가 염두에 두고 있는 관점들은

(A) 논리의 규칙들은 사고(思考)의 법칙들이다.

(A1) 그것들은 사고(思考)의 자연적인 법칙들이다 - 그것들은 우리가 정말로 실제로 어떻게 생각하는지를 기술(記述)한다; 그래서 우리는 달리 생각할 수 없다.

(A2) 그것들은 규범적 법칙들이다 - 그것들은 우리들에게 우리가 어떻게 생각해야 하는지를 말해준다.

(B) 논리의 규칙들은 자연의 가장 일반적인 법칙들이다 - 그것들은 여하한 대상에 대해서도 유효한 기술적(記述的) 법칙들이다.

(C) 논리의 규칙들은 특정한 기술적(記述的) 언어들의 법칙들이다 - 단어들의 그리고 특히 문장들의 사용에 대한 법칙들.

(A1)이 그렇게 널리 생각되었던 이유는, 내가 믿기에, 논리적 규칙들에 대하여 - 적어도 간단한 논리적 규칙들에 대하여 - 강제적이고 피할 수 없는 것이 있다는 사실 때문이다. 우리가 그 규칙들에 따라서 생각하도록 강요당하기 때문에 - 그 규칙들이 유효하지 않은 사건의 상태란 상상될 수 없기 때문에 - 그 규칙들은 유효하다고 일컬어진다. 상상불가능성으로부터 유래하는 논증은, 다른 자명한 논증들처럼, 항상 의심스럽다. 규칙이나 제안이 사실적이거나 확신적이거나 강요적이거나 자명하거나 기타 등등으로 보인다는 사실은, 그 반대가 사실이라 할지라도 분명히 그것이 참이어야 하는 충분한 이유가 아니다 - 그것의 진실성이 그것이 우리에게 사실적이거나 확신적으로 보이는 이유일지도 모른다. 다시 말해서, 논리의 법칙들이 모든 대상물에 대하여 유효하다면, 다시 말해서 (B)가 옳다면, 그 법칙들의 강요적 특징은 분명하고 타당할 것이다; 그렇지 않다면 우리는 아마도, 우리가 신경성 강박감을 겪고 있다는 이유만으로 이런 방식으로 생각하기를 강요당한다고 느낄 것이다. 이런 방식으로, (A1)에 대한 우리의 비판은 (B)를 낳는다.

그러나 (A1)에 대한 또 다른 비판이 (A2)를 낳는다; 즉, 우리는 항상 논리의 법칙에 따라서 추론하지는 않고, 우리는 때때로 보통 ‘오류(fallacy)’라고 불리는 것을 저지른다는 관찰. (A2)는 우리가 그런 논리 규칙의 위반을 피해야 한다고 주장한다. 그러나 왜일까? 그것이 부도덕한가? 물론 아니다. ‘이상한 나라의 앨리스’는 부도덕하지 않다. 그것은 어리석은가? 그렇지 않다. 분명히, 참인, 다시 말해서, 사실에 대하여 사실적인 기술(記述)인 서술들을 공식화하거나 도출하는 데에 우리가 관심을 갖는다는 조건으로, 그리고 그 조건만으로 우리는 논리의 규칙을 위반하는 것을 피해야 한다. 이 고찰로 인하여, 다시, 우리는 (B)에 도달한다.

그러나 (B)는 - 버트런드 러셀(Bertrand Russell), 모리스 코엔(Morris Cohen), 그리고 퍼디난드 곤세드(Ferdinand Gonseth)와 같은 사람들이 지녔던 견해 - 완전히 만족스럽지는 않은 것으로 나에게 느껴진다. 우선, 추론의 규칙들이, 라일 교수와 함께 우리가 강조한 바와 같이, 기술적(記述的) 서술이라기보다는 과정의 규칙이기 때문이다; 둘째로, 논리적으로 참인 공식들의 (즉, 라일 교수가 정확하게 논리학자의 가설적인 것들로 부를 공식들) 중요한 집합은 추론의 규칙들로서 해석될 수 있거나 추론의 규칙들과 상응할 수 있기 때문이며, 우리가 밝힌 바와 같이 이것들은, 라일 교수에 따라서, 들어맞는 기술(記述)이 사실에 적용된다는 의미에서 사실에 적용되지 않기 때문이다. 세 번째로, (‘모든 바위는 무겁다’와 같은) 물리적으로 상투적인 표현과 (‘모든 바위는 바위다’나 아마도 ‘모든 바위는 무겁거나 어떤 바위는 무겁지 않다’와 같은) 논리적으로 상투적인 표현 사이의 근본적인 차이점을 참작하지 않는 이론은 틀림없이 불만족스럽기 때문이다. 우리는 그렇게 논리적으로 참인 명제는 모든 가능한 사실들의 행태를 기술(記述)하기 때문이 아니라 사실에 의하여 반증되는 위험을 무릅쓰지 않는 이유만으로 참이라고 느낀다; 그 명제는 가능한 사실을 배제하지 않으며, 그리하여 사실에 대하여 조금도 여하한 것도 주장하지 않는다. 그러나 이 논리적으로 상투적인 표현들의 위상에 대한 문제를 여기서 시작할 필요는 우리에게 없다. 그 까닭은 그 표현들의 위상이 무엇이든, 논리학은 논리적으로 상투적인 표현들에 관한 원칙이 주로 아니다; 그것은, 주로, 유효한 추론에 관한 원칙이다.

(C)의 관점은 그 관점이 언어로써 우리가, 논리학을 목적으로, ‘단지 기호 체계’를, 다시 말해서 ‘의미’를 별도로 한 기호 체계를 (이것이 무엇을 의미하든) 이해할 수 있다는 견해와 결합되어 있다면, 불만족스러운 것으로 비판되었고 나는 그 비판이 옳다고 생각한다. 나는 이 관점이 지지받을 수 있다고 생각하지 않는다. 그리고 유효한 추론에 대한 우리의 정의(定義)는, 그 정의(定義)가 ‘참(truth)’이라는 술어를 이용하기 때문에, 그런 기호 체계에 지나지 않는 것에 매우 확실하게 적용될 수 없으리라; 그 까닭은 우리가 (의미가 없는) ‘기호 체계에 지나지 않는 것’에 대하여 참이거나 거짓인 서술들을 담고 있다고 말할 수 없을 것이기 때문이다. 그러므로 우리는 우리가 의미하는 바에서 추론을 해서는 안 되고, 추론의 규칙을 정해서도 안 된다; 그래서 결과적으로 우리는 왜 논리의 규칙들이 유효하거나 훌륭하거나 유용한지의 질문에 대한 답변을 해서는 안 된다.

그러나 언어로써 우리로 하여금 참인 서술들을 하도록 하는 (그리고 그 기호 체계에 관하여, 타스키[Tarski]에 의하여 최초로 행해진 바와 같이, 우리가 특정 서술에 대하여 그 서술이 참이라고 말할 때 우리가 의미하는 것을 우리가 설명할 수 있는) 기호 체계를 의미한다면, 지금까지 (C)에 반대하여 제시된 반대 의견들은 그 반대 의견들이 지닌 힘 대부분을 잃는다고 나는 믿는다. 그런 의미론적 언어 체계에 관한 추론의 유효한 법칙은, 문제의 언어에서, 반례(反例: counter example)가 발견될 수 없는 규칙일 텐데, 그 이유는 반례가 존재하지 않기 때문이다.

말이 난 김에 이 추론 규칙들은 우리의 논리적 연구로부터 우리가 알고 있는 저 ‘공식적’ 특징을 반드시 지닐 필요는 없다고 언급될 것이다; 그 규칙들의 특징은, 오히려, 탐구되고 있는 의미론적 언어 체계의 특징에 의존할 것이다. (의미론적 언어 체계들의 보기는 타스키[Tarski]와 카르납[Carnap]에 의하여 분석되었다.) 그러나 보통 논리학자들에 의하여 고찰되는 언어들과 유사한 언어들에 관하여, 추론의 규칙들은 우리가 익숙한 저 ‘공식적’ 특징을 지니고 있을 것이다.

 

VII

나의 마지막 언급에 의하여 지적된 바와 같이, 우리가 토론 중인 과정에 관한 규칙들은, 다시 말해서 추론의 규칙들은, 어느 정도까지, 항상 언어 체계에 상대적이다. 그러나 그 규칙들 모두는 이것을 공유한다: 그 규칙들의 준수는 참인 전제들로부터 참이 결론들로 이행된다. 그리하여 우리가 ‘추론의 규칙’이라는 술어를 이것이 불가능한 방식으로 정의(定義)한 이유만으로, 그 추론 규칙들이 참인 전제들로부터 참이 아닌 결론들로 이행된다는 의미에서 대안적 논리학들은 있을 리가 없다. (이것은 추론의 규칙들을 더 일반적인 규칙들의, 예를 들어, 특정 유사-전제들이 참이라면 우리들로 하여금 특정 유사-결론들에 특정 ‘개연성’을 부여하도록 하는 규칙들의, 특별한 경우로서 간주하는 가능성을 배제하지 않는다.) 그러나 다소 넓게 다른 언어들의 - 우리가 그것들의 ‘논리적 구조’라고 부르는 것에서 다른 언어들 - 대안적 체계들을 공식화하는 의미에서 대안적 논리학은 있을 수 있다.

우리는 예를 들어 정언명제(定言命題; categorical propositions)의 (주어-술어 서술들) 언어를 생각할 것인데, 그 언어에 대하여 정언적(定言的) 삼단 논법들의 전통적인 체계가 추론의 규칙들을 공식화한다. 이 언어의 논리적 구조는 그 구조가 겨우 작은 숫자의 논리적 기호만을 - 연결사(連結辭: copula)와 그 연결사의 부정형에 대한, 보편성과 특수성에 대한, 그리고 아마도 그 구조가 지닌 소위 ‘술어들’의 보어(혹은 그 부정형)에 대한 기호들 - 포함하고 있다는 사실에 의하여 특징지어진다. 우리가 이제 1부 세 번째 문단에서 공식화된 논증을 고찰한다면, 결론뿐만 아니라 세 가지 전제 모두가 정언명제의 언어에서 공식화될 수 있음을 우리는 안다. 그럼에도 불구하고 그렇게 공식화된다면, 이 논증의 일반적인 형태를 보여주는 추론의 유효한 법칙을 공식화하는 것이 불가능하다; 그래서 따라서, 이 논증의 유효성이 정언명제의 언어로 표현되자마자, 이 논증의 유효성을 방어하는 것이 더 이상 가능하지 않다. 우리가 ‘리처드의 어머니(mother of Richard)’라는 단어들을 한 가지 술어로 - 우리의 첫 번째 전제의 술어 - 융합하자마자 우리는 다시 그 단어들을 분리할 수 없다. 이 언어의 논리적 구조는 너무 빈약해서 이 술어가, 이런 저런 정도로, 두 번째 전제의 주어와 세 번째 전제의 주어의 한 부분을 포함하고 있다는 사실을 드러내지 못한다. 유사한 비평이 다른 두 가지 전제들과 결론에 대하여 유효하다. 따라서 우리가 추론의 규칙을 공식화하려고 노력한다면, 우리는 다음과 같은 것을 얻는다.

'A는 b이다'

'C는 d이다'

'모든 e는 f이다'

'A는 g이다'

(여기서 'A'와 'C'는 ‘레이첼’과 ‘리처드’를 의미하고, 'b'는 ‘리처드의 어머니’를, 'd'는 ‘로버트의 아버지’를, 'e'는 ‘아버지들의 어머니들’을, 'f'는 ‘친할머니들’을, 그리고 'g'는 ‘로버트의 친할머니’를 의미한다.) 이 규칙은, 물론, 정언명제의 언어 속에서 우리가 원하는 만큼 많은 반례들을 만들어낼 수 있기 때문에 무효하다. 그리하여 언어는, 그 언어가 우리가 기술(記述)하기를 원하는 모든 사실을 기술(記述)하기에 충분히 풍요롭다 할지라도, 참인 전제들로부터 참인 결론들로 우리가 안전하게 통과할 수 있는 모든 경우를 포함하기에 필요한 추론 규칙들의 공식화를 허용하지 않을 것이다.

 

VIII

이 마지막 고찰들은 우리의 분석을 논리와 산술의 계산법에 관한 적용 가능성의 문제까지 확대하기 위하여 사용될 것이다; 그 까닭은 지금까지 (라일 교수를 따라서) 우리가 추론의 규칙들의 적용 가능성만을 토론했다는 것을 우리는 잊어서는 안 되기 때문이다.

소위 ‘논리적 계산법’의 구축은 주로 그 언어들에 대하여 우리가 직감적으로 도출하는 방법을 알고 있는 모든 저 추론들이 ‘공식화’될, 다시 말해서, 극소수의 명시적이고 유효한 추론의 규칙들에 따라서 도출됨이 밝혀질, 수 있는 언어들을 구축하려는 욕망에 기인한다고 언급될 수 있다고 나는 믿는다. (이 추론의 규칙들은, 과정의 규칙들로서, 우리가 조사하고 있는 언어나 계산법에 대하여 말한다. 그 규칙들은, 그러므로, 조사 중인 계산법으로 서술될 것이 아니고 소위 이 계산법의 ‘상위-언어(meta-language)’로, 다시 말해서 우리가 이 계산법을 토론하면서 사용하는 언어로 서술될 수 있다.) 예를 들어 삼단 논법적 논리학은 그런 언어를 구축하려는 시도였다고 언급될 수 있어서, 많은 그 논리 추종자들은 그 논리가 성공적이어서 실제로 유효한 모든 추론들은 그 논리의 격(格: figures)과 식(moods)으로 공식화된다고 여전히 믿는다. (우리는 이것이 그렇지 않다는 것을 보았다.) 다른 체계들은, 유사한 목표를 지니고 (예를 들어 버트런드 러셀과 A. N. 화이트헤드[Whitehead]가 공저한 수학원리[數學原理: Principia Mathematica]), 구축되어 평범한 담화에서 뿐만 아니라 수학적 논증에서도 준수되는 것으로서 실제로 모든 유효한 추론 규칙들을 공식화하는 데에 성공했다. 우리가 추론에 관한 모든 유효한 규칙들을 (부분적으로 계산법 자체의 논리적 공식들의 도움을 받아서, 그리고 부분적으로 이 계산법과 관련된 추론의 규칙 몇 가지의 도움을 받아서) 첫눈에 보기에 근본적인 논리의 문제로서 공식화할 수 있는 그런 것으로 언어나 계산법을 구축하는 과제를 기술(記述)하려는 유혹을 사람은 받는다. 적어도 우리가, 비교적 간단한 직감적 추론들을 공식화하려는 목적으로, 완전히 다른 특징을 지닌 과정들을 (무한한 전제의 집합으로부터 도출된 추론들과 같은 것들) 수용하지 않는다면, 이 문제가 해결될 수 없다고 믿을 충분한 이유가 있다. 그 견해는 이런 것으로 보인다: 주어진 여하한 유효한 직감적 추론에 대하여, 이 추론의 공식화를 허용하는 어떤 언어를 구축하는 일이 가능하다 할지라도, 모든 유효한 직감적 추론들의 공식화를 허용하는 한 가지 언어를 구축하는 일은 가능하지 않다. 내가 알기에, 괴델(Gödel)의 연구에 대하여 타스키(Tarski)에 의하여, 처음으로 토론되었던 이 흥미로운 상황은, 그 상황이 모든 계산법의 적용가능성은 (그 적당성에 관하여 모든 유효한 추론이 공식화될 수 있는 언어로서 모든 계산법이 지닌 적당성이라는 의미에서) 이런 저런 단계에서 붕괴함을 밝히는 한, 우리의 문제와 관련이 있다.

그러나 이번에는 추론의 규칙들에 보다는 논리적 계산법에, 혹은 더 정확하게, 주장되는 논리적 계산법의 공식들에 국한된 적용가능성이라는 우리의 문제로 나는 이제 선회할 것이다. 이 계산법들은 - 산술을 포함하고 있을 것인데 - 실재에 적용될 수 있을까?

나는 이 질문에 세 가지 서술의 형태로 답변하려고 노력할 것이다.

(a) 규칙으로서의 이 계산법들은 의미론적 체계들인데,? 다시 말해서, 특정 사실들을 기술(記述)하는 데에 사용될 의도로 고안된 언어들이다. 그 계산법들이 이 목적에 부합하는 것으로 판명된다면 우리에게는 놀랄 필요가 없다.

(b) 그 언어들은 그렇게 고안되어서 목적에 부합되지 않을지도 모른다; 이것은 특정 계산법들이 - 예를 들어, 자연수의 산술이나 실수(real numbers)의 산술 - 특정 종류의 사실을 기술(記述)하는 데에 도움이 되지만 다른 종류의 사실을 기술(記述)하는 데에는 도움이 되지 않는다는 사실로부터 알려질 수 있다.

(c) 계산법은 실재에 적용되는 한, 논리적 계산법의 특징을 잃고 경험적으로 논박될 수 있을 기술적(記述的) 이론이 된다; 그리고 그 계산법이 기술적(記述的) 과학 이론이라기보다는 논박 불가능한 것으로, 다시 말해서 논리적으로 참인 공식들의 체계로 취급되는 한, 실재에 적용되지 않는다.

 

4 나는 이 술어를 카르납보다 다소 더 넓은 의미로 사용하고 있다; 그 까닭은 왜 특정 의미론적 체계에서 (L-참) 해석을 지니도록 고안된 한 계산법 그 자체가 공식화된 의미론적 체계로서 기술(記述)되거나 해석될 수 없을 따름인지 나는 알지 못하기 때문이다.

 

(a)와 관련되는 논평이 9부에서 발견될 것이다. 현재 부에서는, (b)와 (c)만이 간단하게 토론될 것이다.

(b)에 관해서, 실수(real numbers)의 계산법이 기학학적 거리나 속도와 같은 지속적인 규모를 측정하기 위한 틀을 제공하는 반면, 우리는 자연수의 계산법이 당구공이나 동전이나 악어들을 세기 위해서 사용됨을 우리는 주목할 것이다. (이것은 실수[real numbers]에 대한 브로우웨르[Brouwer]의 이론에서 특히 명백하다.) 우리들의 동물원에 우리는 예를 들어 3·6나, 혹은 아마도 π 마리의 악어들을 가지고 있다고 우리는 말해서는 안 된다. 악어들을 세기 위하여, 우리는 자연수의 계산법을 이용한다. 그러나 우리 동물원의 위도를, 혹은 그리니치(Greenwich)로부터 그 동물원의 거리를 결정하기 위하여, 우리는 π를 이용해야 할 것이다. 산술의 계산법들 중 어떤 계산법도 실재에 적용될 수 있다는 믿음은 (우리의 토론회에 맞추어 작성된 문제의 기초를 이루는 것으로 보이는 믿음) 그러므로 지지받을 수 없다.

(c)에 관하여, 우리가 ‘2 + 2 = 4’와 같은 제안을 고찰한다면, 그 제안은 다양한 의미로 적용될 - 예를 들어 사과에 - 것인데, 사과에 대하여 나는 오직 두 가지 의미를 토론할 것이다. 두 가지 의미 중에서 첫 번째 의미에서, ‘사과 2개 + 사과 2개 = 사고 4개’라는 서술은 논박 불가능하여 논리적으로 참이라고 생각된다. 그러나 그 서술은 - ‘모든 사과들은 사과들이다’라는 서술이 그러한 것처럼 - 사과들을 포함하는 여하한 사실도 기술(記述)하지 않는다. 이 후자(後者)의 서술처럼, 그것은 논리적으로 진부한 표현이다; 그리고 유일한 차이점은 그것이 ‘모든(All)’과 ‘이다(are)’라는 기호의 정의(定義)에 기초하지 않고, ‘2’, ‘4’, ‘+’, 그리고 ‘=’라는 기호의 특정 정의(定義)에 기초한다는 것이다. (이 정의[定義]들은 명시적이거나 함축적일 것이다.) 우리는 이 경우에 그 적용이 실재적이 아니라 단지 현상적이라고 아마도 말할 것이다; 우리는 여기서 실재를 기술(記述)하지 않고, 실재를 기술(記述)하는 특정 방식이 또 다른 방식과 대등하다고 주장한다고.

더 중요한 것은 두 번째 의미에서의 적용이다. 이 의미에서, ‘2 + 2 = 4’는, 누군가가 두 개의 사과를 바구니에 넣고 다시 두 개를 넣고, 바구니로부터 사과를 꺼내지 않으면, 바구니 안에 네 개의 사과가 있을 것임을 의미한다고 생각될 것이다. 이 해석에서 ‘2 + 2 = 4’라는 서술은 특정한 물리적 사실들을 계산하는 데에, 다시 말해서 기술(記述)하는 데에 도움을 주며, ‘+’라는 부호는 물리적인 조작을 - 특정한 것들을 다른 것들에 물리적으로 보태는 것을 - 의미한다. (여기서 우리는 현상적으로 논리적인 상징을 기술적[記述的]으로 해석하는 일이 때때로 가능함을 본다.?) 그러나 이 해석에서 ‘2 + 2 = 4’라는 서술은 논리적 이론이라기보다는, 물리적 이론이 된다; 그래서 결과적으로, 우리는 그 서술이 보편적으로 사실인지를 확신할 수 없다. 사실상, 그 서술은 보편적으로 참이 아니다. 그 서술은 사과에 관해서는 유효할 것이지만, 토끼에 관해서는 유효하지 않다. 당신이 2 + 2마리의 토끼를 바구니에 넣으면, 곧 당신은 7내지 8마리의 토끼를 발견할 것이다. 또한 그 서술은 물방울과 같은 것들에도 적용될 수 없다. 당신이 물방울 2 + 2를 마른 플라스크에 넣는다면, 당신은 그 플라스크로부터 물방울 넷을 꺼내지 못할 것이다. 다시 말해서, 당신이 ‘2 + 2 = 4’가 적용될 수 없는 세상이 어떤 것인지 의아해한다면, 당신의 호기심을 만족시키는 일은 쉽다. 다른 성(性)을 지닌 몇 마리의 토끼나 물 몇 방울은 그런 세상에 대하여 모형으로서 역할을 할 것이다. 토끼들과 물방울에 무슨 일이 발생했기 때문에, 그리고 ‘2 + 2 =4’라는 등식이 아무 일도 발생하지 않는 대상에 적용될 뿐이기 때문에 당신이 이 보기들이 공평하지 못하다고 답변한다면, 나의 대답은,

 

? 이것은 타스키에 의하여 그의 저서 논리, 의미론, 상위 수학(Logic, Semantics, Metamathematics) (16장)과 카르납에 의하여 그의 저서 의미론 서설(Introduction to Semantics)에서 토론된 몇 가지 근본적인 문제들과 연관되어 있다.

 

당신이 그 등식을 이런 식으로 해석한다면, 그 등식은 ‘실재’에 관하여 유효하지 않고 (그 까닭은 ’실재‘ 안에서 어떤 일이 항상 발생하기 때문이다) 아무 일도 발생하지 않는 두드러진 대상물에 대한 추상적인 세상에 관해서만 유효하다 이다. 우리의 실재적 세상이 그런 추상적인 세상을 닮는 그런 정도까지, 예를 들어, 우리의 사과들이 썩지 않거나 매우 천천히만 썩는 정도까지, 혹은 우리의 토끼들이나 악어들이 새끼를 낳기 시작하지 않는 정도까지 그 등식은 명백하다; 다시 말해서 물리적 상황이 순전히 논리적이거나 산술적인 덧셈 작용을 닮은 정도까지, 물론 산술이 적용될 수 있는 동일한 정도까지. 그러나 이 서술은 하찮다.

유사한 서술이 측정의 덧셈에 관해서도 만들어질 것이다. 나란히 놓인다면, 각각이 a라는 길이를 지닌 두 개의 곧은 막대가, 끝을 이어 놓인다면, 함께 2a의 길이를 가질 것임은 논리적으로 전혀 필요하지 않다. 막대가 원근법의 규칙들에 따라서, 다시 말해서 막대들이 시야에서 그리고 사진 건판에서 정말로 행동하는 것처럼 보이는 바와 꼭 마찬가지로, 행동하는 세상을 - 특정 중심으로부터 (예를 들어 수정체의 중심) 옮겨진다면 막대들이 위축되는 세상 - 우리는 쉽게 상상할 수 있다. 사실상 측정 가능한 특정 양을 - 속도 - 덧보태려는 목적을 위하여 우리는 그런 세상에 사는 것처럼 정말로 보인다. 특수 상대성에 따라서, 측정의 평범한 덧셈법은 속도에 적용될 수 없다 (다시 말해서 그 덧셈법은 거짓 결과를 낳는다); 그 덧셈법은 다른 덧셈법으로써 갈음되어야 한다. 측정의 평범한 덧셈법이 적용될 수 없다는 주장을 배격하고, 원칙에 의하여, 그 덧셈법이 바뀌어야 한다는 주장에 대항하는 일이 물론 가능하다. 그런 원칙은 속도가 반드시 평범한 방식으로 덧보태어져 한다고 말하는 것과, 혹은 다시 말해서, 속도들이 덧셈의 평범한 법칙들을 따르는 것으로서 정의(定義)되어야 한다고 함축적으로 주장하는 것과, 대등하리라. 그러나 이 경우에 물론 속도는 경험적 측정으로써 더 이상 정의(定義)될 수 없어서 (그 까닭은 우리가 동일한 개념을 두 가지 다른 방식으로 정의[定義]할 수 없기 때문이다), 우리의 계산법은 더 이상 경험적 실재에 적용되지 않는다.

라일 교수는 우리가 ‘적용 가능한(applicable)’이라는 술어를 분석하는 각도로부터 그 문제에 접근하는 데에 도움을 주었다. 나의 마지막 말은 ‘실재’라는 단어를 분석함으로써 그 문제를 (그리고 또한 기호들의 논리적 사용과 기술적[記述的] 사용을 구분하는 문제) 다루는 보완적 시도로서 생각될 것이다. 그 까닭은 우리의 서술이 실재 세상을 다루는지 아닌지에 대하여 우리가 의심할 때마다, 우리가 경험적 논박을 수용할 준비가 되어 있는지 아닌지를 우리는 자문함으로써 그것을 우리가 결정할 수 있다고 내가 믿기 때문이다. 논박에 (토끼들이나 물방울들이나 속도들에 의하여 제공되는 것과 같은) 직면하여 우리가, 원칙에 따라서, 우리의 서술들을 옹호하기로 결심한다면, 우리는 실재에 관하여 말하고 있지 않다. 우리가 논박을 수용한다는 조건에서만 우리는 실재에 관하여 말을 한다. 라일 교수의 언어로써 우리는 이렇게 말해야 한다: 우리가 논박을 준수하는 방법을 안다는 조건에서만 우리는 실재에 관하여 말하는 방법을 안다. 이 각오 즉, ‘방법 지식’을 공식화하고 싶으면, 우리는 과정의 규칙의 도움을 받아서 다시 그렇게 해야 한다. 수행 규칙만이 여기에서 우리에 도움을 줄 수 있다는 것이 명백한데, 그 이유는 실재에 관하여 말하는 것이 수행이기 때문이다.?

 

? 이 문제들에 관하여 나의 저서 과학적 발견의 논리(L. Sc. D.) 참조.

 

IX

- (c)에 관한 - 나의 마지막 말은, 우리가 지닌 다면적인 문제의 가장 중요한 모습으로 내가 생각하는 것에 대한 해답이 발견될 방향을 보여준다. 그러나 그 문제는 더 깊이 고찰될 수 있다고 내가 믿는다는 것을 명백히 하지 않고 나는 이 논문을 끝내고 싶지 않다. 왜 우리는 조금이라도 실재에 관하여 말하는 것이 성공할까라고 우리는 물을 수 있으리라. 우리가 실재에 대하여 말할 수 있도록 실재에는 틀림없이 분명한 구조가 있음이 사실이 아닐까? 우리는 짙은 안개와 같을 실재에 대하여 - 그리고 다른 것과 고체와 운동은 말고 - 상상할 수 없을까? 또는 혹시 어떤 변화를 - 예를 들어, 다소 무한한 빛의 변화들 - 안에 지닌 안개와 같을? 물론 이 세상을 기술(記述)하려는 나의 시도로써 나는 이 세상이 우리의 언어로 기술(記述)될 수 있음을 밝혔지만, 이것은 여하한 그런 세상이 그렇게 기술(記述)될 수 있을 것임을 말하려는 것은 아니다.

나는, 그런 형태로, 그 문제가 매우 심각한 문제라고 생각하지 않지만, 그 문제가 너무나 빨리 처리되어야 한다고도 생각하지 않는다. 사실상 우리의 물리적 환경을 - 더 정확하게, 적당히 느리게 움직이는 중간 크기의 물리적 물체들을 - 기술(記述)하고 다루기 위한 도구로서 주로 발전한 우리의 언어로써 충분하게 묘사될 수 없는 세상에 우리 모두는 매우 친숙하게 익숙하다고 나는 믿는다. 내가 염두에 두고 있는 기술(記述)될 수 없는 세상은, 물론, 내가 ‘염두에’ 가지고 있는 세상이다 - 대부분의 심리학자들이 (행동주의자들을 제외하고), 물리학의 생물학의, 그리고 사회생활의 언어들로부터 얻어진 한 무리의 은유에 지나지 않는 것의 도움을 받아서, 다소 실패적으로, 기술(記述)하려고 시도하는 세상.

그러나 기술(記述)될 세상이 어떠하든지, 그리고 우리가 사용하는 언어들이 무엇이고 그 언어들의 구조가 무엇이든지, 우리가 확신할 수 있는 한 가지 일이 있다: 세상을 기술(記述)하는 데에 대한 우리의 관심이 변하지 않는다면, 우리는 참인 기술(記述)에 그리고 추론에 - 다시 말해서 참인 전제들로부터 참인 결론들로 유도되는 작동들에 - 관심을 가질 것이다. 다른 한 편으로, 우리의 평범한 언어들이 여하한 세상을 기술(記述)하기 위한 최고의 수단이라고 믿을 이유는 분명히 없다. 반대로 그 언어들은 우리 자신의 물리적 세상을 보다 세밀히 기술(記述)하기 위하여 가능한 최고의 수단조차도 아마 아니다. 수학의 발달은, 우리의 평범한 언어의 특정 부분들에 관한 다소 인위적 발달인데, 새로운 언어적 수단으로서 새로운 종류의 사실들이 기술(記述)될 수 있음을 보여준다. 가령 다섯 개의 숫자와 ‘다수(many)’라는 술어를 가진 언어에서, 들판 A에 들판 B에서보다 6마리 더 많은 양이 있다는 간단한 사실도 서술될 수 없다. 산술적 계산법을 사용하여 우리는 그 계산법 없이는 기술(記述)될 수 없을 따름인 관계들을 기술(記述)할 수 있다.

그러나 기술(記述)의 수단과 기술(記述)되는 사실들 사이의 관계들에 관하여 한 걸음 더 나아가고 아마도 더 깊은 문제들이 있다. 이 관계들은 바른 방식으로 목격되지 않는다. 사물들에 관한 순진한 실재론에 반대하는 동일한 철학자들은 흔히 사실에 관해서는 순진한 실재론자들이다. 아마도 사물들은 논리적 구축물이라고 믿는 (그것이 잘못된 견해라는 데에 나는 만족한다) 반면, 과정들이나 사물들이 세상의 부분들이라고 일컬어질 의미와 유사한 의미에서 사실들이 세상의 부분이라고 그들은 믿는다; 세상이 (4차원적) 과정들이나 (3차원적) 사물들로 구성되어 있다고 일컬어질 의미에서 사실들로 구성되어 있다고. 특정 명사(名辭)들이 사물들의 이름인 것과 꼭 마찬가지로, 문장들은 사실들의 이름들이라고 그들은 믿는다. 그리고 그들은 때때로 문장들이 사실들에 대한 그림과 같은 것이나, 또는 문장들은 사실들의 투영(投影)이라고 믿는다.? 그러나 이 모든 것은 오류다. 이 방 안에 코끼리가 없다는 사실은 세상의 과정이나 부분의 하나가 아니다; 뉴펀드런드(Newfoundland)의 우박이 뉴질런드 숲에서 나무 한 그루가 넘어진 후 정확하게 111년 만에 떨어졌다는 사실도 세상의 과정이나 부분의 하나가 아니다. 사실은 언어와 실재의 공동 부산물과 같은 것이다; 사실은 기술적(記述的) 서술들에 의하여 이해되는 실재이다. 사실은, 원본의 언어와 다른 언어로 만들어져 원본에 의해서 뿐만 아니라 거의 그만큼 선택의 원리에 의해서 그리고 다른 추상화 방식에 의하여, 그리고 새로운 언어가 성공적으로 다루는 수단에 의하여 결정되는, 책에서 나온 발췌문과 같다. 새로운 언어적 수단은 우리가 새로운 종류의 사실들을 기술(記述)하는 데에 도움만 주지 않는다; 어느 정도, 그 수단들은 심지어 새로운 종류의 사실들을 만들어낸다. 어떤 의미에서, 이 사실들을 기술(記述)하는 데에 필수 불가결했던 새로운 수단들이 만들어지기 전에 이 사실들은 분명히 존재했다; 예를 들어 상대성 이론의 계산법의 도움을 받아 오늘날 수행된 100년 전 행성 수성(水星)의 움직임에 대한 계산이, 이 사실들이 발생했을 때 그 이론이 발명되지 않았다할지라도, 틀림없이 관련된 사실들에 대한 참인 기술(記述)일 것이기 때문에 나는 ‘분명히(obviously)’라고 말한다. 그러나 또 다른 의미에서 우리는 이 사실들이 사건들의 연속체로부터 선택되어 서술들에 - 그 사실들을 기술(記述)하는 이론들 - 의하여 이해되기 전에 이 사실들은 사실들로서 존재하지 않았다고 우리는 아마도 말할 것이다. 이 문제들은, 그러나, 우리의 문제와 밀접하게 연결되어 있다할지라도, 또 다른 토론을 위하여 남겨져야 한다. 내가 제시한 해결책들이 다소 올바르다할지라도, 이 분야에서 남겨진 해결되지 않은 문제들이 여전히 있을 것이리라는 점을 명백히 하기 위해서만 나는 그 문제들을 언급했다.

 

7 논리 철학 논고(Tractatus) 속의 비트겐슈타인을 나는 염두에 두었다. 이 논문은 1946년에 쓰였음을 주목하라.

 

- “추측과 논박, 과학적 지식의 성장”, 칼 포퍼 -

 

 

 

                9

WHY ARE THE CALCULI OF LOGIC AND ARITHMETIC APPLICABLE

TO REALITY?

 

PROFESSOR RYLE has confined his contribution? to the applicability of the rules of logic, or more precisely, to the logical rules of inference. I intend to follow him in this, and only later to extend the discussion to the applicability of logical and arithmetical calculi. The distinction I have just made between the logical rules of inference and the so-called logical calculi (such as the propositional calculus or the class calculus or the calculus of relations) needs, however, some clarification, and I shall discuss the distinction, as well as the connection between the rules of inference and the calculi, in section i, before taking up the two main problems before us: that of the applicability of the rules of inference (in section ii), and that of the applicability of the logical calculi (in section viii).

I shall allude to, and make use of, some ideas from Professor Ryle's paper, and also from his Presidential Address to the Aristotelian Society, Knowing How and Knowing That (1945).?

 

I

Let us consider a simple example of an argument or of reasoning, formulated in some language, say in ordinary English. The argument will consists of a series of statements. We may assume, perhaps, that somebody argues: 'Rachel is the mother of Richard. Richard is the father of Robert. The mother of the father is the paternal grandmother. Thus, Rachel is the paternal grandmother of Robert.'

 

? Professor Ryle's contribution to this discussion is summarized in my paper so far as is necessary to the understanding of my paper.

? Cp. Aristotle, An. Post., ii, 19; 100a, 8.

This was the third paper of a symposium held at the Joint Session of the Mind Association and the Aristotelian Society at Manchester in 1946. It was published in the Proceedings of the Aristotelian Society, Supplementary volume 20. The first symposiast was Professor Gilbert Ryle. Dr C. Lewy was the second symposiast, but his contribution came too late to be discussed in my paper, whose first paragraph is here omitted.

 

The word 'thus' in the last sentence may be taken as an indication that the speaker claims that his argument is conclusive, or valid; or in other words, that the last statement (the conclusion) has been validly drawn from the three foregoing statements (the premises). In this claim, he may be right or wrong. If he is usually right in claims of this kind, then we can say that he knows how to argue. And he may know how to argue without being able to explain to us in words the rules of the procedure which he observes (in common with others who know how to argue); just as a pianist may know how to play well without being able to explain the rules of procedure that underlie a good performance. If a man knows how to argue without always being aware of the rules of procedure, then we usually say that he argues or reasons 'intuitively'. And if we now read through the above argument, then we may be able to say, intuitively, that the argument is valid. There is little doubt that most of us reason, as a rule, intuitively, in the sense indicated. The formulation and discussion of the rules of procedure that underlie ordinary intuitive arguments is a rather specialized and sophisticated sort of inquiry; it is a business peculiar to the logician. While every reasonably intelligent man knows how to argue - provided the arguments do not become too complicated - there are few who can formulate the rules which underlie these performances and which we may call 'rules of inference'; there are few who know that (and fewer perhaps who know why) a certain rule of inference is valid.

The particular rule of inference which underlies the argument stated above can be formulated, making use of variables and a few other artificial symbols, by a scheme like this (이 문장의 분사구문 making use of variables and a few other artificial symbols는 분사구문으로 쓸 수 없다. 따라서 if we make use of variables and a few other artificial symbols로 써야 한다. 문법적 오류이다. - 역자 주):?

From three premises of the form:

'x R y'

'y S z'

'R 'S = T'

a conclusion may be drawn of the form: 'x T z'

Here, for 'x', 'y', and 'z', any proper name of individuals may be substituted, and for 'R', 'S', and 'T' any names of relations between individuals; for 'x R y', etc., any statement asserting that R holds between x and y, etc.; for 'R 'S' any name of a relation holding between x and z if, and only if, there exists a y such that x R y and y S z; and '=' expresses here equality of extension between relations.

It should be noted that this rule of inference makes assertions about statements of a certain kind or form. This fact distinguishes it clearly from a formula of a calculus (in this case, the calculus of relations) such as:

'For all R, S, and T; and for all x, y, and z: if x R y and y S z and R 'S = T, then x T z.'

This formula, undoubtedly, has some similarity to our rule of inference; in fact, it is that statement (in the calculus of relations) which corresponds to our rule of inference. But it is not the same: it

 

? The best method, I believe, of formulating such schemata is one that uses Quine's 'quasi-quotation'; but I shall not introduce Quine's notation here.

 

asserts something conditionally about all relations and individuals of a certain kind, while the rule of inference asserts something, unconditionally, about all statements of a certain kind - namely that every statement of a certain form is deducible, unconditionally, from a set of statements of another form.

In a similar way, we should distinguish, for instance, between the rule of inference (called 'Barbara') of traditional logic:

'M a P'

'S a M'

'S a P'

and the formula of the calculus of classes 'If M a P and S a M, then S a P', (or in a slightly more modern writing: 'If c ⊂ b and a ⊂ c, then a ⊂ b'); or between the rule of inference - which is called 'the principle of inference of propositional logic', or the modus ponendo ponens:

p

If p then q

q

and the formula of the calculus of propositions: 'If p, and if p then q, then q'.

The fact that, to every well-known rule of inference, there corresponds a logically true hypothetical or conditional formula of some well-known calculus - a 'logician's hypothetical', as Professor Ryle calls these formulae - has led to confusion between rules of inference and the corresponding conditional formulae. But there are important differences. (1) Rules of inference are always statements about statements, or about classes of statements (they are 'meta-linguistic'); but the formulae of the calculi are not. (2) The rules of inference are unconditional statements about deducibility; but the corresponding formulae of the calculi are conditional or hypothetical 'If... then...' statements, which do not mention deducibility or inference, or premises or conclusions. (3) A rule of inference, after substitution of constants for the variables, asserts something about a certain argument - an 'observance' of the rule - namely, that this argument is valid; but the corresponding formula, after substitution, yields a logical truism, i. e. a statement such as 'All tables are tables', although in hypothetical form, as for example, 'If it is a table, then it is a table' or 'If all men are mortal, and all Greeks are men, then all Greeks are mortal'. (4) The rules of inference are never used as premises in those arguments which are formulated in accordance with them; but the corresponding formulae are used in this way. In fact, one of the main motives in constructing logical calculi is this: by using the 'logician's hypotheticals' (i. e. those hypothetical truisms which correspond to a certain rule of inference) as a premise, we can dispense with the corresponding rule of inference. By this method we can eliminate all the different rules of inference - except one, the above-mentioned 'principle of inference' (or two, if we make use of the 'principle of substitution', which, however, can be avoided). In other words, the method of building up a logical calculus is a method of systematically reducing a vast number of rules of inference to one (or two). The place of all the others is taken by formulae of the calculus; which has the advantage that all these formulae - an infinite number, in fact - can be, in turn, systematically inferred (using the 'principle of inference') from a very few formulae (괄호 속의 분사구문 using the 'principle of inference'는 어법에 어긋난다. 이 표현은 by/by way of/through the 'principle of inference'로 표현해야 한다. - 역자 주).

We have indicated that for each of the well-known rules of inference there exists an asserted (or demonstrable) formula in a well-known logical calculus. The converse is not true in general (though it is true for hypothetical formulae). For example, to the formula 'p or non-p'; or to 'non-(p and non-p)'; and to many others which are not hypothetical, there exists no corresponding rule of inference.

Thus rules of inference and formulae of logical calculi have to be carefully distinguished. This need not, however, prevent us from interpreting a certain sub-set of these formulae - the 'logician's hypotheticals' - as rules of inference. In fact, our assertion that to every such hypothetical formula there corresponds a rule of inference justifies such an interpretation.

 

II

After these somewhat technical preliminaries, we now turn to Professor Ryle's treatment of the question: 'Why are rules of inference applicable to reality?' This question forms an important part of our original problem, for we have just seen that a certain sub-set of the formulae of the logical calculi (viz., those which Professor Ryle calls 'the logician's hypotheticals') can be interpreted as rules of inferences.

Professor Ryle's central thesis, if I understand him rightly, is this. The rules of logic, or more precisely, the rules of inference, are rules of procedure. This means that they apply to certain procedures, rather than to things or facts. They do not apply to reality, if by 'reality' we mean the things and facts described, for example, by scientists and historians. They do not 'apply' in the sense in which a description, say of a man, may apply to - or fit - either the man described or some other man; or in the sense in which a descriptive theory, for example of nuclear resonance absorption, may apply to - or fit - the atoms of uranium. Logical rules, rather, apply to the procedure of drawing inferences, comparable to the way in which the rules of the highway code apply to the procedure of riding a bicycle or driving a car. Logical rules can be observed or contravened, and to apply them does not mean to make them fit, but means to observe them, to act in accordance with them. If the question 'Why are the rules of logic applicable to reality?' is mistakenly intended to mean 'Why do the rules of logic fit the things and the facts of our world?' then the answer would be that the question assumes that they can, and do, fit the facts, whereas it is not possible to predicate of the rules of logic that they are 'fitting the facts of the world' or 'not fitting the facts of the world'. This is not possible any more than it is possible to predicate such a thing of the highway code or of the rules of chess.

Thus it seems that our problem disappear. Those who wonder why the rules of inference apply to the world, vainly trying to imagine what an illogical world would be like, are the victims of an ambiguity. Rules of inference are procedural rules or rules of performance, so that they cannot 'apply' in the sense of 'fit' but only in the sense of being observed. Thus a world in which they do not apply would not be an illogical world, but a world peopled by illogical men.

This analysis (which is Professor Ryle's) seems to me true and important, and it may well indicate the direction in which a solution of our problem can be found. But I do not feel satisfied that in itself it offers a solution.

The position appears to me in this way. Professor Ryle's analysis shows that one way of interpreting the problem reduces it to nonsense, or to a pseudo-problem. Now I have for many years made it a personal rule of procedure not to be easily satisfied with the reduction of problems to pseudo-problems. Whenever somebody succeeds in reducing a problem to a pseudo-problem, I always ask myself whether one could not find another interpretation of the original problem - an interpretation which shows, if possible, that apart from the pseudo-problem there is also a real problem behind the original problem. I have found in many cases that this rule of procedure was fruitful and successful. I fully admit that an analysis which attempts to reduce the original problem to a pseudo-problem may often be extremely valuable; it may show that there was a danger of muddled thinking, and it may often help us to find the real problem. But it does not settle it. All this is the case here too, I believe.

 

III

I accept Professor Ryle's view that the rules of logic (or of inference) are rules of procedure, and, as he himself indicates, that they may be considered as good or useful or helpful rules of procedure. Now I suggest that the problem 'Why are the rules of logic applicable to reality?' might be interpreted to mean 'Why are the rules of logic good, or useful, or helpful rules of procedure?'

That this interpretation is justifiable can hardly be denied. The man who applies the rules of logic, in the sense that he acts according to them, or, as Professor Ryle says, observes them, does so probably because he finds them useful in practice. But this means, ultimately, that he finds them useful in dealing with real situations, i. e. with reality. If we ask, 'Why are these rules useful?', we ask something very similar to the question 'Why are they applicable?' and the similarity is sufficient, I believe, for claiming that this may very well be what the original questioner had in mind. on the other hand, there is no doubt any longer that our question ceases to be a pseudo-problem.

 

IV

I believe that our question can be answered comparatively easily. The man who finds observance of the rules of logic useful is, we have seen, a man who draws inferences. That is to say, he obtains from some statements or descriptions of facts, called 'premises', other statements or descriptions of facts, called 'conclusions' (이 문장에서 분사구문 called 'premises'와 called 'conclusions' 앞의 쉼표는 없어야 한다. 문법적 오류이다. - 역자 주). And he finds the procedure useful because he finds that, whenever he observes the rules of logic, whether consciously or intuitively, the conclusion will be true, provided the premises were true. In other words, he will be able to obtain reliable (and possibly valuable) indirect information, provided his original information was reliable and valuable.

If this is correct, then we must substitute for our question 'Why are the rules of logic good rules of procedure?' another question, namely, 'What is the explanation of the fact that the logical rules of inference always lead to true conclusions, provided the premises are true?'.

 

V

I believe this question, too, can be answered comparatively easily. Having learned to speak, and to use our language for the purpose of describing facts, we soon become more or less conversant with the procedure called 'reasoning' or 'arguing', that is to say, with the intuitive procedure of obtaining some kind of secondary information which was not explicitly stated in our original information. Part of this intuitive procedure can be analysed in terms of rules of inference. The formulation of these rules is the principal task of logic.

Accordingly we may lay it down that a logician's rule of inference is, by definition, a good or 'valid' rule of inference if, and only if, its observance ensures that we obtain true conclusions, provided our premises are true. And if we succeed in finding an observance of suggested rule which allows us to obtain a false conclusion from true premises - I call this a 'counter example' - then we are satisfied that this rule was invalid. In other words, we call a rule of inference 'valid' if, and only if, no counter example to this rule exists; and we may be able to establish that none exists. Similarly, we call an observance of a rule of inference - that is to say an inference - 'valid', if, and only if, no counter example exists to the observed rule.

Thus a 'good' or 'valid' rule of inference is useful because no counter example can be found, i. e. because we can rely on it as a rule of procedure that leads from true descriptions of facts to true descriptions of facts. But since we can say of a true description that it fits the facts, 'applying' in the sense of 'fitting' does enter into our analysis in some indirect way, after all. For we can say that rules of inference apply to facts in so far as every observance of them which starts with a fitting description of facts can be relied on to lead to a description which likewise fits the facts.

It is perhaps not without interest that the fundamental importance of the principle that a valid inference from true premises invariably leads to true conclusions has been discussed at some length by Aristotle (Anal. Prior., II, 1-4).

 

VI

In order to see whether this result is of any use I shall try to apply it to a criticism of the three main views of the nature of logic. The views I have in mind are

(A) The rules of logic are laws of thought.

(A1) They are natural laws of thought - they describe how we actually do think; and we cannot think otherwise.

(A2) They are normative laws - they tell us how we ought to think.

(B) The rules of logic are the most general laws of nature - they are descriptive laws holding for any object whatsoever.

(C) The rules of logic are laws of certain descriptive languages - of the use of words and especially of sentences.

The reason why (A1) has been so widely held is, I believe, the fact that there is something compelling and inescapable about logical rules - at least about the simple ones. They are said to hold good because we are compelled to think in accordance with them - because a state of affairs for which they do not hold good is inconceivable. But an argument that proceeds from inconceivability is, like other self-evidence arguments, always suspect. The fact that a rule, or a proposition, appears to be true, convincing, compelling, self-evident, or what not, is obviously no sufficient reason why it should be true, although the opposite may well be the case - its truth may be the reason why it appears to us to be true, or convincing. In other words, if the laws of logic hold for all objects, i. e. if (B) is correct, then their compelling character would be clear and reasonable; otherwise we may perhaps feel compelled to think in this way merely because we have a neurotic compulsion. In this way, our criticism of (A1) leads to (B).

But another criticism of (A1) leads to (A2); namely, the observation that we do not always reason in accordance with the laws of logic, but that we sometimes commit what is usually called a 'fallacy'. (A2) asserts that we ought to avoid such breaches of the rules of logic. But why? Is it immoral? Certainly not. 'Alice in Wonderland' is not immoral. Is it stupid? Hardly. Obviously, we ought to avoid breaches of the rules of logic if, and only if, we are interested in formulating or deriving statements which are true, that is to say, which are true descriptions of facts. This consideration, again, leads us to (B).

But (B) - a position which has been held by men like Bertrand Russell, Morris Cohen, and Ferdinand Gonseth - seems to me not altogether satisfactory. First, because the rules of inference, as we have emphasized with Professor Ryle, are rules of procedure rather than descriptive statements; secondly, because an important class of logically true formulae (viz., precisely those which Professor Ryle would call the logician's hypotheticals) can be interpreted as, or correspond to, rules of inference, and because these, as we have shown, following Professor Ryle, do not apply to facts in the sense in which a fitting description does. Thirdly, because any theory which does not allow for the radical difference between the status of a physical truism (such as 'All rocks are heavy') and a logical truism (such as 'All rocks are rocks' or perhaps 'Either all rocks are heavy or some rocks are not heavy') must be unsatisfactory. We feel that such a logically true proposition is true not because it describes the behaviour of all possible facts but simply because it does not take the risk of being falsified by any fact; it does not exclude any possible fact, and it therefore does not assert anything whatsoever of any fact at all. But we need not go here into the problem of the status of these logical truisms. For whatever their status may be, logic is not primarily the doctrine of logical truisms; it is, primarily, the doctrine of valid inference.

The position (C) has been criticized - rightly, I think - as unsatisfactory so long as it was bound up with the view that by a language we can, for the purpose of logic, understand a 'mere symbolism', i. e. a symbolism apart from any 'meaning' (whatever this may mean). I do not think that this view can be upheld. And our definition of a valid inference would most certainly not be applicable to such a mere symbolism since this definition makes use of the term 'truth'; for we could not say of a 'mere symbolism' (which is void of meaning) that it contains true or false statements. We should therefore have no inference in our sense, and no rules of inference; and as a consequence, we should have no answer to our question why the rules of logic are valid or good or useful.

But if we mean by a language a symbolism that allows us to make true statements (and in respect of which we can explain, as was first done by Tarski, what we mean when we say of a certain statement that it is true) then, I believe, the objections which so far have been raised against (C) lose most of their force. A valid rule of inference with regard to such a semantic language system would be a rule to which, in the language in question, no counter example can be found, because no counter example exists.

It may be said in passing that these rules of inference need not necessarily have that 'formal' character which we know from our logical studies; their character will depend, rather, on the character of the semantic language system under investigation. (Examples of semantic language systems have been analysed by Tarski and Carnap.) Yet for languages similar to those usually considered by logicians, the rules of inference will be of that 'formal' character to which we are accustomed.

 

VII

As indicated by my last remarks, the rules of procedure which we are discussing, i. e. the rules of inference, are, to a certain extent, always relative to a language system. But they all have this in common: their observance leads from true premises to true conclusions. Thus there cannot be alternative logics in the sense that their rules of inference lead from the true premises to conclusions which are not true, simply because we have defined the term 'rule of inference' in such a way that this is impossible. (This does not exclude the possibility of considering the rules of inference as special cases of more general rules, for example, of rules which allow us to attach to certain quasi-conclusions a certain 'probability', provided that certain quasi-premises are true.) Yet there can be alternative logics in the sense that they formulate alternative systems of rules of inference with respect to more or less widely different languages - languages which differ in what we call their 'logical structure'.

We may take, for example, the language of categorical propositions (subject-predicate statements), for which the traditional system of categorical syllogisms formulates the rules of inference. The logical structure of this language is characterized by the fact that it contains only a small number of logical signs - signs for the copula and its negation, for universality and particularity, and perhaps for the complementation (or negation) of its so-called 'terms'. If we now consider the argument formulated in section I, third paragraph, then we see that all three premises as well as the conclusion can be formulated in the language of categorical propositions. Nevertheless, if so formulated, it is impossible to formulate a valid rule of inference which exhibits the general form of this argument; and accordingly, it is no longer possible to defend the validity of this argument, once it has been couched in the language of categorical propositions. once we have fused the words 'mother of Richard' into one term - the predicate of our first premise - we cannot separate them again. The logical structure of this language is too poor to exhibit the fact that this predicate contains, in some way or other, the subject of the second premise, and part of the subject of the third premise. Similar remarks hold for the other two premises and for the conclusion. Accordingly, if we try to formulate the rule of inference, we get something like

'A is b'

'C is d'

'All e are f'

'A is g'

(Here 'A' and 'C' stand for 'Rachel' and 'Richard', 'b' for 'mother of Richard', 'd' for 'father of Robert', 'e' for 'mothers of fathers', 'f' for 'paternal grandmothers', and 'g' for 'paternal grandmother of Robert'.) This rule, of course, is invalid since we can produce in the language of categorical propositions as many counter examples as we like. Thus a language, even though it may be rich enough for describing all the facts we wish to describe, may not permit the formulation of the rules of inference needed to cover all the cases in which we can safely pass from true premises to true conclusions.

 

VIII

These last considerations may be used for extending our analysis to the problem of the applicability of the calculi of logic and arithmetic; for we must not forget that so far (following Professor Ryle) we have discussed only the applicability of rules of inference.

I believe that the construction of so-called 'logical calculi' can be said to be due, mainly, to the desire to build up languages with regard to which all those inferences which we intuitively know how to draw can be 'formalized', that is to say, shown to be drawn in accordance with a very few explicit, and valid, rules of inference. (These rules of inference, as rules of procedure, speak about the language or calculus we are investigating. They are, therefore, not to be stated in the calculus under investigation, but in the so-called 'meta-language' of this calculus, i. e. in the language which we use when discussing this calculus.) Syllogistic logic, for example, can be said to have been an attempt to construct such a language, and many of its adherents still believe that it was successful and that all inferences which are really valid are formalized in its figures and moods. (We have seen that this is not the case.) Other systems have been built up, with similar aims (for example Principia Mathematica), and have succeeded in formalizing practically all valid rules of inference as observed not only in ordinary discourse but also in mathematical arguments. one is tempted to describe the task of constructing a language or calculus such that we can formalize all valid rules of inference (partly with the help of the logical formulae of the calculus itself, and partly with the help of a few rules of inference pertaining to this calculus) as the prima facie fundamental problem of logic. Now there is good reason to believe that this problem is insoluble, at least if we do not admit, for the purpose of formalizing relatively simple intuitive inferences, procedures of an entirely different character (such as inferences drawn from an infinite class of premises.) The position appears to be this: although it is possible, for any given valid intuitive inference, to construct some language permitting the formalization of this inference, it is not possible to construct one language permitting the formalization of all valid intuitive inferences. This interesting situation which was first discussed, to my knowledge, by Tarski, with reference to investigations by Gödel, bears on our problem in so far as it shows that the applicability of every calculus (in the sense of its suitability as a language with regard to which every valid intuitive inference can be formulated) breaks down at some stage or other.

I shall now turn to our problem of applicability, this time, however, confined to the logical calculi, or more precisely, to the asserted formulae of the logical calculi, rather than to the rules of inference. Why are these calculi - which may contain arithmetic - applicable to reality?

I shall try to answer this question in the form of three statements.

(a) These calculi as a rule are semantical systems,? that is to say, languages designed with the intention of being used for the description of certain facts. If it turns out that they serve this purpose then we need not be surprised.

(b) They may be so designed that they do not serve the purpose; this can be seen from the fact that certain calculi - for example, the arithmetic of natural numbers, or that of real numbers - are helpful in describing certain kinds of fact, but not other kinds.

(c) In so far as a calculus is applied to reality, it loses the character of a logical calculus and becomes a descriptive theory which may be empirically refutable; and in so far as it is treated as irrefutable, i. e. as a system of logically true formulae, rather than a descriptive scientific theory, it is not applied to reality.

 

? I am using this term in a slightly wider sense than Carnap; for I do not see why a calculus designed to have an (L-true) interpretation in a certain semantical system cannot itself be simply described or interpreted as a formalized semantical system.

 

A remark that bears on (a) will be found in section ix. In the present section, only (b) and (c) will be briefly discussed.

As to (b), we may note that the calculus of natural numbers is used in order to count billiard balls, or pennies, or crocodiles, while the calculus of real numbers provides a framework for measurements of continuous magnitudes such as geometrical distances or velocities. (This is especially clear in Brouwer's theory of the real numbers.) We should not say that we have, for instance, 3·6, or perhaps π, crocodiles in our zoo. In order to count crocodiles, we make use of the calculus of natural numbers. But in order to determine the latitude of our zoo, or its distance from Greenwich, we may have to make use of π. The belief that any one of the calculi of arithmetic is applicable to any reality (a belief that seems to underlie the problem which was set to our symposium) is therefore hardly tenable.

As to (c), if we consider a proposition such as '2 + 2 = 4', then it may be applied - for example to apples - in different senses, of which I shall discuss only two. In the first of these senses, the statement '2 apples + 2 apples = 4 apples' is taken to be irrefutable and logically true. But it does not describe any fact involving apples - any more than the statement 'All apples are apples' does. Like this latter statement, it is a logical truism; and the only difference is that it is based, not on the definition of the signs 'All' and 'are', but on certain definitions of the signs '2', '4', '+', and '='. (These definitions may be either explicit or implicit.) We might say in this case that the application is not real but only apparent; that we do not here describe any reality, but only assert that a certain way of describing reality is equivalent to another way.

More important is the application in the second sense. In this sense, '2 + 2 = 4' may be taken to mean that, if somebody has put two apples in a certain basket, and then again two, and has not taken any apples out of the basket, there will be four in it. In this interpretation the statement '2 + 2 = 4' helps us to calculate, i. e. to describe certain physical facts, and the symbol '+' stands for a physical manipulation - for physically adding certain things to other things. (We see here that it is sometimes possible to interpret an apparently logical symbol descriptively.?) But in this interpretation the statement '2 + 2 = 4' becomes a physical theory, rather than a logical one; and as a consequence, we cannot be sure whether it remains universally true. As a matter of fact, it does not. It may hold for apples, but it hardly holds for rabbits. If you put 2 + 2 rabbits in a basket, you may soon find 7 or 8 in it. Nor is it applicable to such things as drops. If you put 2 + 2 drops into a dry flask, you will never get four out of it. In other words, if you wonder what a world would look like in which '2 + 2 = 4' is not applicable, it is easy to satisfy your curiosity. A couple of rabbits of different sexes or a few drops of water may serve as a model for such a world. If you answer that these examples are not fair because something has happened to the rabbits and to the drops, and because the equation

 

? This bears on some fundamental problems discussed by Tarski in his Logic, Semantics, Mathematics (ch. 16) and by Carnap in his Introduction to Semantics.

 

'2 + 2 = 4' only applies to objects to which nothing happens, then my answer is that, if you interpret it in this way, then it does not hold for 'reality' (for in 'reality' something happens all the time) but only for an abstract world of distinct objects in which nothing happens. To the extent, it is clear, to which our real world resembles such an abstract world, for example, to the extent to which our apples do not rot, or rot only very slowly, or to which our rabbits or crocodiles do not happen to breed; to the extent, in other words, to which physical conditions resemble the pure logical or arithmetical operation of addition, to the same extent, of course, does arithmetic remain applicable. But this statement is trivial.

An analogous statement may be made about the addition of measurements. That any two straight sticks which, if placed side by side, are each of the length a, will, if placed end to end, be together of the length 2a, is by no means logically necessary. We can easily imagine a world in which sticks do behave according to the rules of perspective, i. e. exactly as they appear to behave in the visual field and on photographic plates - a world in which they shrink if moved away from a certain centre (e. g. that of the lens). In fact, for the purpose of the addition of certain measurable quantities - velocities - we do seem to live in such a world. According to special relativity, the ordinary calculus of addition of measurements is inapplicable to velocities (i. e. it leads to false results); it has to be replaced by a different one. Of course, it is possible to reject the claim that the ordinary calculus of addition of velocities is inapplicable, and to resist, on principle, any demand that it should be changed. Such a principle would be tantamount to saying that velocities must necessarily be added in the ordinary way, or in other words, to claiming, implicitly, that they are to be defined as obeying the ordinary laws of addition. But in this case, of course, velocities can no longer be defined by empirical measurements (for we cannot define the same concept in two different ways) and our calculus no longer applies to empirical reality.

Professor Ryle has helped us to approach the problem from the angle of an analysis of the word 'applicable'. My last remarks may be taken as a complementary attempt to tackle the problem by analysing the word 'reality' (and also the problem of the distinction between the logical and the descriptive use of symbols). For I believe that whenever we are doubtful whether or not our statements deal with the real world, we can decide it by asking ourselves whether or not we are ready to accept an empirical refutation. If we are determined, on principle, to defend our statements in the face of refutations (such as are provided by rabbits or drops or velocities), we are not speaking about reality. only if we are ready to accept refutations do we speak about reality. In Professor Ryle's language, we should have to say: only if we know how to abide by a refutation do we know how to speak about reality. If we wish to formulate this readiness or 'knowledge how', then we have to do it again with the help of a rule of procedure. It is clear that only a performance rule can help us here, for speaking about reality is a performance.?

 

6 With these questions, cp. my L. Sc. D.

 

IX

My last remarks - on (c) - indicate the direction in which, perhaps, an answer may be found to what I hold to be the most important aspect of our many-sided problem. Yet I do not wish to conclude this paper without making it quite clear that I believe the problem can be taken further. Why, we could ask, are we at all successful in speaking about reality? Is it not true that reality must have a definite structure in order that we can speak about it? Could we not conceive of a reality which would be like a thick fog - and nothing else, no solids, no movement? Or perhaps like a fog with certain changes in it - rather indefinite changes of light, for example? Of course, by my very attempt to describe this world I have shown that it can be described in our language, but this is not to say that any such world could be so described.

I do not think that, in this form, the question is a very serious one, but I also do not think that it should be too quickly dismissed. In fact, I believe that we are all most intimately acquainted with a world that cannot be properly described by our language which has developed mainly as an instrument for describing and dealing with our physical environment - more precisely, with physical bodies of medium size in moderately slow motion. The indescribable world I have in mind is, of course, the world I have 'in my mind' - the world which most psychologists (except the behaviourists) attempt to describe, somewhat unsuccessfully, with the help of what is nothing but a host of metaphors taken from the languages of physics, of biology, and of social life.

But whatever the world to be described may be like, and whatever may be the languages we use, and their logical structure, there is one thing we can be sure of: as long as our interest in describing the world does not change, we shall be interested in true description, and in inferences - that is to say, in operations which lead from true premises to true conclusions. on the other hand, there is certainly no reason to believe that our ordinary languages are the best means for the description of any world. on the contrary, they are probably not even the best possible means for a finer description of our own physical world. The development of mathematics, which is a somewhat artificial development of certain parts of our ordinary languages, shows that with new linguistic means new kinds of facts can be described. In a language possessing, say, five numerals and the word 'many', even the simple fact that in field A there are 6 more sheep than in field B cannot be stated. The use of an arithmetical calculus permits us to describe relations which simply could not be described without it.

There are, however, further and possibly deeper problems concerning the relations between the means of description and the described facts. These relations are rarely seen in the right way. The same philosophers who oppose a naïve realism with regard to things are often naïve realists with regard to facts. While perhaps believing that things are logical constructs (which, I am satisfied, is a mistaken view) they believe that facts are part of the world in a sense similar to that in which processes or things may be said to be parts of the world; that the world consists of facts in a sense in which it may be said to consist of (four dimensional) processes or of (three dimensional) things. They believe that, just as certain nouns are names of things, sentences are names of facts. And they sometimes even believe that sentences are something like pictures of facts, or that they are projections of facts.? But all this is mistaken. The fact that there is no elephant in this room is not one of the processes or parts of the world; nor is the fact that a hailstorm in Newfoundland occurred exactly 111 years after a tree collapsed in the New Zealand bush. Facts are something like a common product of language and reality; they are reality pinned down by descriptive statements. They are like abstracts from a book, made in a language which is different from that of the original, and determined not only by the original book but nearly as much by the principles of selection and by other methods of abstracting, and by the means of which the new language disposes. New linguistic means not only help us to describe new kinds of facts; in a way, they even create new kinds of facts. In a certain sense, these facts obviously existed before the new means were created which were indispensable for their description; I say, 'obviously' because a calculation, for example, of the movement of the planet Mercury of 100 years ago, carried out today with the help of calculus of the theory of relativity, may certainly be a true description of the facts concerned, even though the theory was not yet invented when these facts occurred. But in another sense we might say that these facts do not exist as facts before they are singled out from the continuum of events and pinned down by statements - the theories which describe them. These questions, however, although closely connected with our problem, must be left for another discussion. I have mentioned them only in order to make clear that even should the solutions I have proposed be more or less correct, there would still be open problems left in this field.

 

? I had in mind Wittgenstein in the Tractatus. Note that this paper was written in 1946.

 

 

 

 

- "Conjectures and Refutations, The Growth of Scientific Knowledge", Karl R. Popper -

9장___논리와산술의계산법.hwp

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