열린 우주, 2장 '과학적' 결정론

                                                        2장

 

                       ‘과학적’ 결정론

 

10. 겉으로 보이는 고전 물리학의 결정론. 라플라스(Laplace)의 악마.

양자물리학자들은 양자물리학이 비결정론을 암시하는 반면, 흔히 자신들이 ‘고전 물리학’으로 (이것은 뉴튼의, 맥스웰[Maxwell]의, 그리고 심지어 아인슈타인의 이론들을 포함한다) 부르는 것이 결정론을 암시한다고 말한다. 이 언급의 진실성을 수용하지 않고, 나는 물론 고전 물리학과 양자 물리학 사이에는 차이점이 있음을 기꺼이 인정하고 있다. 고전 물리학이 다른 특징을 지닌 반면, 양자이론은 확률이론이다. 나는 고전 물리학을 ‘겉보기에 결정론적’으로서 기술하여 이 이름으로 그 이름이 어떤 종류의 결정론을 수반하는지 아닌지의 문제를 내가 해치고 싶어 하지 않는다는 것을 지적함을 기술할 것을 제안한다.

내가 고전 물리학의 ‘겉보기에 결정론적 특징’으로 지칭하는 것은 소위 ‘라플라스의 악마’의 도움을 받아서 가장 잘 기술될 것이다.

라플라스는 세상이 뉴튼의 역학에 따라서 서로에게 작용하는 미립자들로 구성되며, 세계의 체계의 한 순간의 초기 상태에 대한 완벽하고 정확한 지식은 여하한 그 다른 순간의 그 세계의 상태를 추론하는 데 틀림없이 충분하다고 믿었다. (뉴튼 체계의 모든 입자들의 초기 조건들, 즉 위치들, 질량들, 속도들 그리고 방향들이 주어진다면 뉴튼 체계의 ‘상태’는 주어진다.) 이런 종류의 지식은 분명히 초인적이다. 이것이 라플라스가 악마라는 허구를 – 어는 순간에도 세계 체계의 초기 조건들의 완벽한 조합을 발견할 수 있는 초인적 지성 – 도입했던 이유이다. 이 초기 조건들과 자연 법칙들의 도움을, 다시 말해서 역학의 등식들의 도움을 받아서 라플라스에 따르면 악마는 세계 체계의 모든 미래 상태들을 추론할 수 있을 것이다; 이것은, 자연법칙들이 알려진다면 세상의 미래는 세상의 과거 여하한 순간에 함축되어 있다는 것을 보여주었다; 그래서 결정론의 진실성은 확보될 것이다.

라플라스의 이 논증에 관한 결정적 요점은 이렇다. 그 요점은 결정론의 교설을 종교의 진리라기보다는 과학의 진리로 만든다. 라플라스의 악마는 전지(全知)한 하느님이 아니라 단지 초월적-과학자이다. 그 악마는 인간 과학자들이 할 수 없을 것이거나 적어도 개략적으로 할 수 있을 어떤 것도 할 수 있다고 예상되지 않는다: 그 악마는 단지 초인적 완성으로 자신의 임무들을 수행할 수 있다고 예상된다.

그리하여 라플라스는 인간 과학자들이 우주에 있는 모든 물리적 천체들의 초기 조건들을 발견할 수 없다는 것인 기꺼이 인정했을 것이다; 그러나 그는 인간 과학자들이, 행성들의 숫자가 작다면, 태양계의 모든 초기 조건들을 측정할 수 있음을 지적했을 터이다. 그는 또한 과학자들이 절대적으로 정확한 초기 조건들을 얻을 수 없음을 기꺼이 인정했을 것이다; 그러나 그는 과학자들이 초기 조건들을 측정하면서 정확도를 향상시킬 수 있음을, 그리고 그 향상들에는 절대적인 한계가 없음을 지적했을 것이다. 다시 그는, 태양계가 두 개 이상의 천체들을 포함하고 있다면 뉴튼의 이론으로 인하여 우리는 우리가 지닌 수학적 지식의 현재 상태에 따라서 근사치의 방법을 통해서만 태양계의 미래 상태를 계산할 수 있음을 인정했을 것이다; 그러나 라플라스는, 우리가 일반적인 복수-천체 문제를 – 다시 말해서 2개 이상의 천체들에 대한 뉴튼적 중력 상호작용을 계산하는 문제 - 해결하지 못했다할지라도, 우리는 어느 날 그 해답을 아마도 발견할 것이고 그 해답의 발견으로 인하여 틀림없이 악마는 이 지식의 특징을 띠게 될 것을 합법적으로 만들 것임을 지적했을 것이다; 그리고 그는 아마도, 일반적인 문제가 엄격하게 해결 불가능할지라도, 우리가 모든 특정 경우에 (그 경우가 지나치게 복잡하지 않다면) 정확한 해답을 우리가 규정하기로 결정할 여하한 정도까지 정확한 근사치로 갈음할 수 있다고 추가로 언급했을 것이다.

라플라스의 악마가 이상화된 인간 과학자일 따름인 것은 이런 의미에서이다. 실제로 그 악마는 이상화된 라플라스이다. 라플라스 자신은 우리 태양계의 안정이라는 큰 문제를 해결했다고 믿었다. 그는 자신이 – 태양계가 닫혀있다는 즉, 어떤 새로운 천체도 태양계에 들어오거나 외부로부터 태양계에 훼방을 놓지 않을 것이라는 전제하에서 – 행성들이 모든 미래의 시간에 태양으로부터의 자신들의 평균 거리를 지속적으로 유지할 것이라고 믿었다. (우리는 12절과 14절에서 그가 잘못 생각했다는 것을 알게 될 것이다.)

라플라스의 악마는, 인간 과학자들처럼, 초기 조건들 그리고 이론들을 즉, 자연법칙들이라는 체계들을 이용하여 작업을 하게 되어있다. 합당한 물리적 체계들에 대하여 그의 목표가 완벽하게 책임을 지는 이론들은 ‘겉으로 보기에 결정론적’이라는 표찰이 붙을 것이다.

이 표찰은, 열역학이나 통계역학이나 양자이론 혹은 아마도 또한 유전자이론과 같은 다른 이론과 대조적으로 뉴튼이나 맥스웰이나 아인슈타인의 이론이 지닌 어떤 특징들을 구별하기 위하여 여기에 도입된다. 나는 다음 정의(定義)를 제안한다.

물리이론은 그 이론으로 인하여 우리가, 그 이론과 관련하여 기술(記述)되는 닫힌 물리체계의 초기 상태에 대한 수학적으로 정확한 기술로부터, 규정된 유한한 정확도로써 여하한 주어진 미래 순간의 그 체계의 상태에 대한 기술(記述)을 추론할 수 있다는 조건으로만 겉으로 보기에 결정론적이다.

초기 조건들이 수학적으로 절대적으로 정확하다고 전제될지라도 이 정의(定義)는 수학적으로 정확한 예측들을 요구하지 않는다. 단지 근사치적 방법들만 두 개 이상의 천체들에 대한 문제의 해답에 관하여 알려졌기 때문에 뉴튼의 역학이 정의(定義)를 통하여 제외되지 않음을 우리가 확신하고 싶어 한다면, 우리는 더 많은 것을 요구할 수 없다. 유사한 이유들 때문에 ‘문제의 물리체계가 너무 복잡하지 않다면’이라는 단어들을 덧붙임으로써 우리는 우리의 정의(定義)를 약화시켜야 한다고 주장될 것이다. 왜냐하면 문제의 체계가 매우 많은 천체들을 포함할 때, 그리고 특히 천체들의 질량과 거리가 모든 동일 규모의 배열을 지닌다면 근사치를 통하여 복수-천체 문제를 해결하는 만족스러운 방법들이 존재하는지가 알려져 있지 않기 때문이다. 요점은 물론 심지어 수학적으로 정확한 초기 조건들을 이용해서도 숫자적 계산의 방법들이, 몇 가지 복잡한 체계들의 경우에 근사치의 연속적인 단계들을 통하여 특정 수준 아래로 우리가 감소시킬 수 없는 그 방법들 자체의 부정확성이 도입된다는 것이다. 그리하여 바라는 정확도의 예측을 얻는다는 것은 불가능할 것이다.

이 요점이 중요하다할지라도 나는 여기서 그 요점을 추구하지 않겠다; 반대로 나는 뉴튼과 맥스웰의 이론들이 나의 원래 정의(定義)의 의미에서 겉으로 보기에 결정론적이라고 – 결정론을 주장하는 나의 적들에 대한 양보로서 – 전제할 것이다.

이 정의(定義)를 채택하고 우리 앞에 놓은 문제는 아래와 같다. 겉으로 보기에 결정론적인 물리 이론이 참이라고 전제하기에 우리에게는 이 전제로부터 ‘과학적’ 결정론의 진실성을 추론할 자격이 있는가? 혹은 달리 표현해서 우리에게는 이론이 지닌 겉으로 보기에 결정론적인 특징으로부터 세상의 결정론적인 특징을 추론할 자격이 있는가?

나는 나중에 (13절에서) 이 추론이 무효임을 내가 믿는 여러 가지 근거들을 제시할 것이다. 그러나 나의 다음 임무는 ‘과학적’ 결정론이라는 개념을 보다 분명하게 설명하는 것이다.

 

11. ‘과학적’ 결정론의 개념: 내부로부터의 예측가능성.

결정론에 대한 일반적인 개념은, 우리가 본 바와 같이, 세상의 연속적인 상태들을 보여주는 영화라는 은유의 도움을 받아서 설명될 것이다. 이 영화에서 미래에 보일 것은 과거에 보인 것과 같이 고정되어 있거나 결정되어 있다. 그리고 미래가 고정되어 있기 때문에 미래는 원칙적으로 아마도 미리 알려질 것이다; 추측될 뿐만 아니라 확실하게 미리 알려진다.

이 은유를 기억하면서 우리는 ‘과학적’ 결정론이 가능한 사전 지식이라는 모호한 개념을 예측의 과학적 과정에 따른 예측가능성이라는 보다 정확한 개념으로 갈음하려는 시도에서 유래한다고 말할 것이다. 다시 말해서 ‘과학적’ 결정론은, 미래는 현재나 과거 초기 조건들로부터, 참인 보편적 이론들과 결합하여 합리적으로 추론될 수 있다고 주장한다.

‘과학적’ 결정론은 사전 지식의 단순한 가능이나 심지어 존재 이상을 주장하다는 것과 그리하여 그 결정론은 보다 기꺼이 비판에 적응한다는 것을 깨닫는 일이 중요하다. 분명히 모든 사건이 어떤 사람에 (예를 들어 미리 그 사건을 꿈꾸는) 의하여 심지어 많은 사건들이 우연한 형태로 발생하여 보편적 법칙들과 같은 것에 종속되지 않는 세상에서도 미리 알려질 수 있을 것임은 논리적으로 가능하다. 그런 세상에서 합리적인 과학적 예측에 대한 근거로서 사용되게 충분히 강력한 이론들이 없을 터이어서 ‘과학적’ 결정론은 거짓일 것이다. 우리는 ‘과학적’ 결정론이 세상에 대하여 영화 특징 이상을 주장한다고 말을 함으로써 이것을 표현할 수 있다. ‘과학적’ 결정론은 영화에서 보이는 사건들이 우연적이 아니고 항상 규칙들에 종속되어 영화에 속하는 각각의 그림이나 영상으로 인하여 우리가 연속적인 영상들을 연결하는 규칙들이나 법칙들의 도움을 받아서 뒤따르는 영상들 중 어떤 영상도 합리적인 방법들을 통하여 계산할 수 있다고 주장한다. ‘과학적’ 결정론이 이 만큼도 암시하지 않는다면 결정론자는 ‘과학적’ 형태가 아닐 것이다.

언급된 것은 아마도 결정론에 대한 일반적인 개념과 내가 ‘과학적’이라는 표찰을 붙인 결정론의 저 해석본 사이의 관계를 명확히 할 것이다. 결정적인 요점은 후자(後者)가 뉴튼의 이론과 같은 인간 과학의 성공의 도움을 요구한다는 것이다: ‘과학적’ 결정론은 경험적 과학의 결과로서, 혹은 적어도 경험적 과학에 의하여 지지를 받는 것으로서 나타날 수 있다. ‘과학적’ 결정론은

인간의 경험에 근거하는 듯이 보인다.

이것은 물론 라플라스가 전지(全知)한 하느님에게 도움을 요청하지 않고 그가 의도한 바, 원칙적으로 인간 과학자의 능력들을 틀림없이 능가하지 않는 능력을 부여받은 악마에게만 도움을 요청한 까닭이다. 라플라스는 자신의 악마가 직감을 통하여 세상의 미래 상태를 안다고 기대하지 않았다; 이것은 인간의 이성적인 능력들을 이상화하지는 않을 터이지만 원칙적으로 그 능력들을 초월할 터이다. 라플라스는, 그러나, 틀림없이 이런 방향으로 인간 지식의 가능한 향상에는 한계가 없다고 믿었기 때문에 자신의 악마가 초기 조건들을 정확하게 알기를 정말로 기대했다. 유사하게 그는 자신이 실제적으로 어떤 인간이라는 존재도 (혹은 주어진 한정된 규모의 여하한 컴퓨터도) 매우 큰 숫자의 미립자들을 포함하는 가스와 같은 체계에서 모든 미립자들의 좌표를 발견할 수 없을 것임을 깨달았다할지라도, 자신의 악마가 여하한 복잡한 정도의 체계에서 모든 미립자들의 상태를 알 것을 기대했다. 아마도 우리는 그 악마의 능력들이 정도에서만 인간 과학자들의 능력을 능가할 수 있었다고 말함으로써 라플라스의 의도를 가장 잘 표현할 것이다; 악마의 능력들은 인간 과학자의 능력들에 한정된 한계가 없는 분야들에서만 무한했다.

이 개념은 라플라스가 틀림없이 동의했을 두 가지 중요한 요건들의 도움을 받아서 보다 정확하게 될 것이다. 이 두 가지 요건들은, 여기서 악마에 대한 언급으로 설명되는데 나중에, 다소 더 추상적인 형태로 ‘과학적’ 결정론에 대한 우리의 최종적 정의(定義)에 포함될 것이다.

첫 번째 요건은 다음과 같다.

(1) 악마는, 인간 과학자처럼, 초기 조건들을 절대적인 수학적 정확도로 발견할 수 있다고 전제되어서는 안 된다; 인간 과학자처럼 악마는 한정된 정도의 정확도에 만족해야 할 것이다. 그러나 그 악마는 자신의 측정의 부정확한 범위를 자신이 원하는 만큼 작게, 다시 말해서 여하한 사람도 명시할 한정된 규모보다 더 작게 만들 수 있다고 전제될 것이다.

첫눈에 보기에 이 요건은 겉으로 보이는 결정론적 이론에 대한 우리의 정의(定義)의 사소한 조정에만 해당되는 것으로 보인다; 왜냐하면 우리에게 수학적으로 정확한 초기 조건들이 주어진다면, 우리는 우리로 하여금 바람직하거나 명시된 정확도로 어떤 예측도 계산하도록 할 이론을 겉으로 보기에 결정론적이라고 불렀기 때문이다. ‘과학적’ 결정론이라는 교설은 다소 더 많은 것을 요구한다: 우리에게 한정된 정도의 부정확도를 지닌 초기 조건들이 주어진다면 (항상 그 부정확도가 우리가 예측 임무에 근거하여, 책임가능성의 원칙에 따라서 미리 규정할 정도를 초월하지 않는다면) 우리는 – 또는

악마 – 바람직하거나 명시된 정도의 정확도로써 여하한 예측도 틀림없이 계산할 수 있을 것을.

두 번째 요건은 다음과 같다.

(2) 인간 과학자처럼 그 악마는 그 미래를 자신이 예측하기로 되어 있는 물리적 세상에 스스로 속하는 것으로 틀림없이 전제된다; 적어도 물리적 절차들이 (a) 그 악마가 정보를 취득할 절차들로서, (b) 예측들 계산하는 절차들로서, 그리고 (c) 예측들 설명하는 절차들로서 해석될 세상에 존재한다고 틀림없이 전제된다. 다시 말해서 그 악마는 그가 예측할 물리적 체계의 바깥에 있는 육체에서 분리된 정신으로서가 아니라 오히려 말하자면 정신의 물리적 화신으로서 가시화된다; 그의 본질적인 활약들은, 어떤 면에서, 체계와 상호작용한다. 우리는 그가 외부로부터라기보다는 틀림없이 내부로부터 체계를 예측한다고 말함으로써 이 요건을 요약할 것이다.

이 두 번째 요구는 다시 그 악마에게 원칙적으로 모든 인간의 능력들을 능가하는 능력들이 부여되어서는 안 된다는 요건으로부터 도출될 수 있다. 이것은 나의 특수한 요구가 아니다. 그것은 적어도 30년 동안 결정론 교설의 한 부분으로 물리학자들에 의하여 묵시적으로 전제되었다. 이것은 하이젠베르크(Heisenberg)의 특정 논증들이, 내가 그리하여 여기서 그 논쟁들을 수용하지 않고 언급할 논증들, 기억될 때 분명해진다. 측정의 절차가 측정되는 체계의 상태와 간섭하기 때문에 초기 조건들에 대하여 우리가 지닌 지식의 가능한 정확도에, 그리하여 그 초기 조건들로부터 계산될 수 있는 예측들에 확실한 한계들이 있다는 사실을 고려하여, 나는 결정론이 충분하지 않을 것이라는 논증을 언급하고 있다. 이 논증은 악마가 육체로부터 분리된 정신일 것이라는 개념을 거부하는 것에 해당한다: 이 논증은 그 악마에게 한계가 원칙적으로 여하한 인간과 여하한 물리적 도구에 적용될 것인 무한한 능력들이 부여되어서는 안 된다고 전제한다. 다시 말해서 결정론에 반대하는 하이젠베르크의 논증은, 결정론이 어떤 바람직한 정확도로써 내부로부터의 예측가능성을 수반한다는 암묵적 전제에 근거한다.

12. ‘과학적’ 결정론에 대한 두 가지 정의(定義)

우리는 이제 ‘과학적’ 결정론을 다음과 같이 정의(定義)할 수 있다.

‘과학적’ 결정론의 교설은 주어진 여하한 미래 순간의 여하한 닫힌 물리체계의 상태가, 심지어 그 체계 내부로부터, 명시된 여하한 정확도로, 이론들로부터 예측을 추론함으로써, 예측 업무가 주어진다면 그 요구된 정확도가 항상 계산될 수 있다는（책임가능성의 원칙에 따라서) 교설이다.

이것은 ‘과학적’ 결정론에 포함된 개념들을 설명하기에 아직 충분히 강력한 가장 약한 정의(定義)이다.

우리의 정의(定義)가 요구하는 것은, 주어진 여하한 미래 시간에 명시된 여하한 정확도로써 여하한 물리 체계의 상태의 예측가능성을 요구함으로써 (이전 절들에서 지적된 바와 같이) 여하한 사건에 대한 예측가능성이다. 게다가 우리의 정의(定義)가 요구하는 것은 앞 절에서 설명된 요구 (1)과 (2), 그리고 또한 책임가능성의 원칙을 포함한다. 이 모든 것들은 ‘과학적’ 결정론이라는 개념의 필수불가결한 요소들이다.

다른 한편으로 더 강력한 정의(定義)들이 주어질 수 있을 것이다: 어떤 사람들이 ‘과학적’ 결정론이라는 개념의 부분들이라고 직감적으로 느끼고, 우리의 정의(定義)로부터 생략된, ‘과학적’ 결정론이라는 개념의 가능한 요소들이 있다. 나는, 더욱 특히, 주어진 종류의 한 가지 사건이 그 체계 안에서 발생한 것이든 아니든 우리가 어떤 체계에 대하여 예측할 수 있다는 개념을 나는 염두에 두고 있다. 다시 말해서 방금 주어진 정의(定義)에, 어떤 주어진 상태에 문제의 그 체계가 이런 상태에 있을 것인지 아닌지는 예측될 수 있다는 요건을 우리는 아마도 덧붙일 것이다.

이 요건이 우리의 정의(定義)에 덧붙는다면, 우리는 소위 ‘과학적’ 결정론의 더 강력한 해석본을 얻는다. 일식(日蝕)이 (혹은, 가령, 2주일 안에 월식이 뒤따르는 일식) 발생할 것인지 문제는 더 경력한 해석본이 ‘과학적’ 결정론에 필수적이라고 간주하는 사람들이 염두에 둘 사례이다. 또 다른 사례는 우리의 토론에 더 중요한데 라플라스에 의하여 연구된 우리의 태양계가 안정적인지 아닌지의 문제이다; 혹은 보다 구체적인 설명으로 태양과 어떤 행성 사이의 평균거리가, 가령, 현재 평균 거리의 두 배가 될 것이지 혹은 절반이 될 것인지의 문제.

라플라스가 자신에게 악마라는 개념을 제시했던 이 문제를 해결했다는 것은 부분적으로 그의 믿음이었다. 그리하여 더 강력한 해석본은 라플라스가 염두에 두었던 해석본에 매우 가깝다고 아마도 언급될 것이다.

 

13. ‘과학적’ 결정론은 겉으로 보기에 결정론적인 이론으로부터 귀결되는가?

첫눈에 보기에, ‘과학적’ 결정론에 대한 정의(定義)는 심지어 자체의 더 강력한 해석본에서도 겉으로 보기에 결정론적인 이론의 해석본과 매우 유사해서 ‘과학적’ 결정론의 진실성이 뉴튼의 역학과 같은 겉으로 보기에 결정론적인 이론의 진실성으로부터 직접적으로 귀결될 것이다. 이 인상은 틀림없이 칸트와 라플라스뿐만 아니라 뉴튼 역학의 진실성을 신뢰했던 그렇게 많은 다른 위대한 사상가들 또한 자신들이 ‘과학적’ 결정론과 같은 그런 교설을 수용하게 되어 있다고 생각했던 이유를 설명한다. 아인슈타인도 그 추론의 유효성을 신뢰했고 아인슈타인을 반대했던 양자이론의 공식적 해석을 (‘코펜하겐 해석[the Copenhagen Interpretation]’) 옹호했던 사람들 또한 그러했다. 그럼에도 불구하고 그 추론은 무효이다.

먼저, 내가 겉으로 보기에 결정론적 이론의 특징이라고 칭했던 것과 ‘과학적’ 결정론 사이에는 상당한 차이점이 있다. 전자(前者)를 주장하면서 우리는 이론이 특정 속성을 지니고 있다고 이론에 대하여 항상 주장한다. 후자(後者)를 주장하면서 우리는 세상에는 특정 속성이 있다고 세상에 대하여 주장한다. 물론 어떤 이론이 참이라면 그 이론은 세상의 어떤 속성들을 기술한다. 그러나 이것은 참인 이론의 모든 속성에 대하여 상응하는 세상의 속성이 있을 것임을 의미하지는 않는다.

‘과학적’ 결정론이 이론이 지닌 겉보기에 결정론적인 특징으로부터 귀결된다는 인상에 의존하는 것은 위험할 것이라는 첫 번째 표시를 제시하기 위하여 다음이 기억되어야 한다. 뉴튼의 역학이 참이라고 우리가 전제할지라도 뉴튼은, 모든 물리적 사건들이 그에게 기계적임으로 밝혀진 것은 아니라는 이유만이라면 뉴튼이 당시 ‘과학적’ 결정론을 수반하는 이론을 얻지 못했다는 것은 분명할 터이다; 전기에 대한, 자력에 대한, 광학에 대한 만족스러운 이론의 뉴튼 역학으로부터 성공적으로 추론한 후에만 뉴튼 역학의 진실성이 ‘과학적’ 결정론에 대한 논증으로서 이용될 것인지 아닌지의 문제가 출현할 수 있을 것이다. 혹은 다른 말로, ‘과학적’ 결정론은, 조금이라도, 모든 종류의 물리적 사건들에 대한 예측을 허용할 것이라는 의미에서, 완벽하거나 혹은 포괄적인 물리학의 체계로부터만 귀결될 수 있을 것이다.

‘과학적’ 결정론이 겉으로 보기에 결정론적인 이론의 진실성으로부터 귀결된다는 인상에 의존하는 것에 반대하는 두 번째 경고는, 세상이 순전히

기계적 체계이며 (전기, 기타 등등이 없는) 뉴튼 역학이 참이라고 우리가 전제할지라도 ‘과학적’ 결정론의 여하한 순간의 더 강력한 해석본이 거짓이라는 사실로부터 도출될 것이다. 이것은 아다마르(Hadamard)가 얻은 결과의 도움을 받아서 다음 절에서 밝혀질 것이다. 나중에 나는 더 많은 것을 밝히려고 노력할 것이다; ‘과학적’ 결정론의 더 약한 해석본이 어떤 이론들과 – 예를 들어 아인슈타인의 이론 – 양립할 수 없다는 것뿐만 아니라 또한 그 해석본이 논리적인 근거를 토대로 배척되어야 한다는 것.

 

14. 아다마르(Hadamard)의 결론.

1898년에 발표된 매우 흥미로운 논문에서 아다마르는 단순한 기계적 문제를 토론했다: 무한 곡면의 (특별한 종류의, 즉 다양한 음수 곡률을 지닌; 불연속선들이 없다고 전제된다) 측지선(測地線: geodesics)들에 – 다시 말해서 직선들 - 따른 질점(質點: mass-point)의, 불변 속도를 지닌 움직임. 아다마르는 초기 위치가 (움직임의 시작점) 절대적인 정확성으로서 주어진다고 전제했다; 그래서 그는 움직임의 초기 방향이 ⍺각도 안에서 변화하는 것을 허용한다. 그는 그렇다면 여러 종류의 궤도들이, 특히 (i) 점근적으로(漸近的으로: asymtotically)만 닫혀서 그 곡선들 위에서 움직이는 점(點)은 출발점으로부터 유한한 거리 내에 항상 남아있을 곡선들을 포함하여, 원형궤도들이나 폐쇄궤도들 그리고 (ii) 충분히 긴 기간이 지난 후에 그 발사체들 위에서 움직이는 점(點)이 출발점으로부터 유한한 주어진 거리를 능가할 것과 같은, 무한으로 향하는 발사체들. 우리는 작은 각도 ⍺를 포함하는 두 가지 초기 방향들에서 우리의 출발점으로부터 나오는 두 가지 다른 원형궤도들 (폐쇄궤도들)을 고려한다. 아다마르는, 우리가 ⍺를 우리가 원하는 만큼 작게 만든다할지라도 그럼에도 불구하고 각도 ⍺ 안에서 우리의 출발점으로부터 나오는 무한으로 향하는 궤도들이 있을 것임을 보여준다; 다시 말해서 우리가 선택할 여하한 두 가지 다른 궤도들 사이의.

그러나 이것은 궤도의 초기 방향에 대한 어떤 측정도, 아무리 정확하다 할지라도 (절대적인 수학적 정확도에 미달하는), 질점(質點: mass-point)이 한 궤도 위에서 움직이는지 혹은 결국 무한으로 향하는 발사체 위에서 움직이는지를 결정할 수 없음을 의미한다; 심지어 초기 위치가 절대적으로 정확하게 주어진다는 비현실적인 전제를 토대로도 그러하다. 다시 말해서 그것은 우리가 질점(質點: mass-point)의 움직여서 출발점으로부터의 질점(質點: mass-point)의 거리가 유한한 가치를 능가지 않을 것인지, 혹은 질점(質點: mass-point)이 결국 자체의 거리를 꾸준히 증가시키기 시작하여 무한으로 움직여 사라질 것인지를 우리가 결정할 수 없음을 의미한다.

그리하여 앞 절에서 토론된 ‘과학적’ 결정론의 더 강력한 해석본은 아다마르의 결론에 의하여 반증된다. 왜냐하면, 아다마르가 지적한 바와 같이, 초기 조건들에 대한 어떤 유한한 정확도로 인하여 우리는 행성계가 (많은 천체들의) 라플라스의 의미에서 안정될 것인지 아닌지를 예측할 수 없을 것이기 때문이다. 이것은 원형궤도들을 결정하는 수학적으로 정확한 초기 상태들과 무한으로 향하는 측지선(測地線: geodesics)들을 결정하는 다른 수학적으로 정확한 초기 상태들이, 우리가 본 바와 같이, 어떤 물리적 측정들에 의하여 풀릴 수 없다는 사실에 기인한다. 이것으로써 아다마르는 라플라스의 결론을 (위에 언급된) 반증한다; 아마도 ‘과학적’ 결정론에 대한 라플라스의 개념이 지닌 주요 영감들 중 하나였을 결론.

그러나 내가 알 수 있는 한, 아다마르는, 내가 위에서 정의(定義)한 바와 같이 ‘과학적’ 결정론의 더 약한 교설을 반증할 수 없다. 질점(質點: mass-point)의 초기 방향을 (a) 예측 업무에서 언급되는 출발과 순간 사이의 시간범위에 의존하고 (b) 예측에 명시되는 정확도에 의존할 정확도로써 우리가 측정한다면, 우리는, 주어진 여하한 순간 동안 질점(質點: mass-point)의 상태에 대한 예측들을 여전히 얻을 수 있다. 우리가 예측할 수 없는 것은 시간의 모든 순간들 동안의 체계의 행동이다.